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Applications of the theory of Boolean rings to general topology. (English) JFM 63.1173.01
Verf. bringt seine in einer früheren Arbeit (Trans. Am. Math. Soc. 40, 37–111 (1936; JFM 62.0033.04)] entwickelte Theorie der Booleschen Ringe in Beziehung zur abstrakten mengentheoretischen Topologie.
Die Menge \(\mathfrak E\) aller Primideale eines Booleschen Ringes \(A\) läßt sich auf folgende Weise topologisieren: Jede Menge \(\mathfrak E(\mathfrak a)\) aller derjenigen Primideale von \(A\), die nicht Teiler eines beliebigen Ideals \(\mathfrak a\) aus \(A\) sind, werde als Umgebung eines jeden Elementes \(\mathfrak p\in \mathfrak E(\mathfrak a)\) definiert. \(\mathfrak E\) wird dadurch ein total zusammenhangsloser, lokal bikompakter Hausdorffscher Raum, und die Teilmengen \(\mathfrak E(\mathfrak a)\) sind dann gerade die offenen Mengen von \(\mathfrak E\). Die bikompakten offenen Mengen von \(\mathfrak E\) bilden ein topologisch äquivalentes Umgebungssystem; sie sind als diejenigen \(\mathfrak E(\mathfrak a)\) gekennzeichnet, für die \(\mathfrak a\) ein Hauptideal aus \(A\) ist. Ist umgekehrt \(\mathfrak S\) ein total zusammenhangsloser, lokal bikompakter Hausdorffscher Raum – Verf. nennt solche Räume Boolesche Räume –, so bilden die bikompakten offenen Teilmengen von \(\mathfrak S\) einen Booleschen Ring \(A\), und der zu \(A\) gehörige Raum \(\mathfrak E\) der Primideale ist homöomorph \(\mathfrak S\). Die Theorie der Booleschen Ringe ist also logisch äquivalent der Theorie der Booleschen Räume. Dieser Zusammenhang zwischen Algebra und Topologie wird vom Verf. weiter verfolgt. Insbesondere beschäftigt sich Verf. mit der Konstruktion von Booleschen Universalräumen für jede Kardinalzahl. So ist z. B. jeder separable Boolesche Raum homöomorph einer Teilmenge des Cantorschen Diskontinuums \(\mathfrak D\) und jeder höchstens abzählbare Boolesche Ring somit homomorph dem durch \(\mathfrak D\) bestimmten Booleschen Ring.
Auf dieser Grundlage sucht Verf. nun Darstellungen eines beliebigen topologischen Raumes in Booleschen Ringen zu gewinnen, um so algebraische Methoden auf Probleme der allgemeinen mengentheoretischen Topologie anwenden zu können. Das Hilfsmittel besteht in folgenden Begriffsbildungen (vgl. dazu P. Alexandroff and H. Hopf [Topologie I. Berlin: J. Springer (1935; JFM 61.0602.07)], insbesondere S. 66): Ein beliebiges System \(Y\) von nicht leeren abgeschlossenen Teilmengen \(\mathfrak Y\) eines \(T_1\)-Raumes \(\mathfrak S\) wird durch die Festsetzung topologisiert, daß jedes Teilsystem von \(Y\), das aus allen in einer offenen Menge von \(\mathfrak S\) enthaltenen Mengen \(\mathfrak Y\) besteht, als Umgebung eines jeden seiner Elemente anzusehen ist. \(Y\) ist dadurch als ein \(T_c\)-Raum erklärt. Ist nun \(\mathfrak R\) ein dem Raum \(Y\) homöomorpher topologischer Raum, so heißt die Beziehung zwischen \(\mathfrak R\), \(\mathfrak S\) und \(Y\) eine Darstellung von \(\mathfrak R\) in \(\mathfrak S\) vermöge \(Y\). Die Darstellung heißt irredundant, wenn jede nicht leere offene Menge von \(\mathfrak S\) wenigstens eine Menge \(\mathfrak Y\) aus \(Y\) enthält. Verf. entwickelt zunächst eine allgemeine Darstellungstheorie. Das Hauptergebnis ist: Jeder \(T_0\)-Raum \(\mathfrak R\) kann in einem geeigneten Booleschen Raum \(\mathfrak S\) irredundant dargestellt werden. Für eine solche Darstellung gibt Verf. ein Konstruktionsverfahren an, und es folgt, daß die Darstellung durch \(\mathfrak R\) bis auf Homöomorphien bestimmt ist. In Verbindung mit dem Ergebnis des ersten Teiles der Arbeit ergibt sich also, daß die algebraische Theorie der Booleschen Ringe der topologischen Theorie der \(T_0\)-Räume logisch äquivalent ist. Auf diese Weise ist es möglich, algebraische Methoden auf topologische Fragen anzuwenden. Die wichtigsten Anwendungen betreffen die Einbettungs- oder Erweiterungsprobleme. Hier sollen nur zwei Sätze angeführt werden, die Alexandroff und Urysohn vermutet haben, die aber bisher nicht bewiesen werden konnten: Jeder Hausdorffsche Raum kann als dichte Teilmenge in einem absolut abgeschlossenen Hausdorffschen Raum eingebettet werden. Ein Hausdorffscher Raum ist dann und nur dann bikompakt, wenn jede seiner abgeschlossenen Teilmengen absolut abgeschlossen ist. (III 5 B.)

MSC:
54-XX General topology
06E15 Stone spaces (Boolean spaces) and related structures
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