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La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile. Leçons professées à la Sorbonne. Rédigées par I. Leray. (French) JFM 63.1227.02
Cahiers scientifiques. Fasc. 18. Paris: Gauthier-Villars. vi, 269 p. (1937).
Der Inhalt dieses aus Vorlesungen 1931/32 hervorgegangenen Buches besteht aus der ausführlichen Darlegung der Cartanschen Methode des “repère mobile” in der Differentialgeometrie und aus der Untersuchung der endlichen kontinuierlichen Lieschen Gruppen. Den Zusammenhang sieht man an dem Beispiel der Darbouxschen Gleichungen des begleitenden Dreibeins, die nichts anderes als die Strukturgleichungen der euklidischen Bewegungsgruppe sind.
In einem ersten Teil soll der Leser mit der Methode des begleitenden Dreibeins im euklidischen Raum vertraut gemacht werden. Dabei sind vor allem die Fälle ausführlich behandelt, in denen die Wahl der “trièdres mobiles” nicht unmittelbar gegeben ist. (Minimallinien, Regelflächen mit reellen und mit isotropen Erzeugenden.) So gibt die Lösung dieses Problems die ersten Anwendungen eines allgemeinen Prinzips.
Im zweiten und dritten Teil tritt an die Stelle der euklidischen Bewegungsgruppe eine beliebige \(r\)-gliedrige kontinuierliche Transformationsgruppe \(G\). Dem begleitenden Dreibein entspricht ein der Gruppe \(G\) zugeordnetes System von Bezugssystemen (repères mobiles): Die zugrunde liegende Gruppe \(G\) sei durch die Transformationen eines \(n\)-dimensionalen Koordinatenraumes (oder Teilraumes) in sich realisiert. Den repères mobiles der Gruppe \(G\) entspricht dabei ein System von Figuren \(F\) mit folgenden Eigenschaften: a) Je zwei Figuren \(F_1\), \(F_2\) gehen durch ein einziges Gruppenelement \(S = (F_1 \to F_2)\) ineinander über, b) jedes \(F\) bestimmt eine eineindeutige Abbildung des durch die Gruppe \(G\) geometrisierten Punktraumes \(\mathfrak R\) (oder Teilraumes) auf die Koordinaten-\(n\)-tupel \((x_1, \dots, x_n)\). Beim Übergang zu einem neuen Bezugssystem \(F^\prime\) entstehen die neuen Koordinaten aus der dem Gruppenelement \((F \to F^\prime)\) entsprechenden Transformation. Speziell kann man als Bezugsgrößen \(F\) stets eine endliche Anzahl von Punkten \(F_0\) und ihre durch die Gruppenelemente \(S_a\) bestimmten Transformierten \(F_a = S_aF_0\) nehmen.
Der Differentialkalkül wird mittels der Begriffe “infinitesimale Transformation \(X f\)” und “Komponenten \(\omega\) einer infinitesimalen Verschiebung des repère mobile \(R_a\)’ entwickelt. Ist \(S_a\) ein Gruppenelement, welches \(R_0\) in \(R_a\) überführt, und ist \(\omega_1X_1 f + \cdots + \omega_r X_r f\) die infinitesimale Transformation \(S_a^{-1} S_{a+da}\), so heißen die in den Gruppenparametern \(a_j, \dots, a_r\) Pfaffschen Formen \(\omega_i(a, da)\) “relative Komponenten der Änderung von \(R_a\)”. Die zentrale Stellung dieses Begriffes zeigt der Gleichheitssatz, wonach zwei Scharen von Bezugssystemen \(R_u\) und \(R_v\), die eineindeutig aufeinander bezogen sind, bei gleichen \(\omega_i\) durch eine Transformation ineinander übergehen und umgekehrt. Die \(\omega_i\) genügen den Maurer-Cartanschen Strukturgleichungen der Gruppe, deren Bedeutung für den dritten Fundamentalsatz von Lie im dritten Abschnitt gezeigt wird.
Das letzte Kapitel enthält die Struktursätze der Gruppe \(G\) vom klassischen Lieschen Standpunkt.
Die Grundlage der repère-Methode ist die repérage einer Klasse von Objekten \(\varOmega\). Wir wählen ein Objekt \(\varOmega_1\) und ein repère \(R_1\). Seien \(G_1\) die Elemente der Untergruppe von \(G\), welche \(\varOmega_1\) invariant läßt, \(S\) eine Transformation, die \(\varOmega_1 \)in \(\varOmega\) überführt, so heften wir dem Objekt \(\varOmega\) die Schar der repères \(R = SG_1R_1\) an. Diese Bezugssysteme charakterisieren das Objekt \(\varOmega\) vollständig, falls die Gruppe \(G\) transitiv hinsichtlich der Objekte \(\varOmega\) ist, d. h. falls es zu willkürlichen \(\varOmega_1\) und \(\varOmega\) stets ein \(S\) gibt. Im intransitiven Fall zerfällt die Objektklasse in Unterklassen, die aus der Gesamtheit der Transformierten eines \(\varOmega\) gebildet und durch Invarianten festgelegt werden.
Für die Differentialgeometrie der Mannigfaltigkeiten in \(\mathfrak R\) ist das Hauptproblem das der Gleichheit, d. h. die Frage, ob es in \(G\) Transformationen gibt, welche zwei gegebene Mannigfaltigkeiten ineinander überführen. Ein erster Schritt dazu ist die Lösung des Kontaktproblems. Ein Kontaktelement \(p\)-ter Ordnung wird aus den Koordinatenwerten und denen der Ableitungen bis zur \(p\)-ten Ordnung in einem Punkt der Mannigfaltigkeit \(V\) gebildet. Die Gleichheit zweier Kontaktelemente wird sukzessive durch die repérage dieser Objekte entschieden. Bestimmt man für \(V\) nacheinander die repères und Invarianten der Kontaktelemente der verschiedenen Ordnungen, so findet man schließlich eine Ordnung \(Q\) so, daß die repères der Ordnung \(Q + 1\) mit denen der Ordnung \(Q\) übereinstimmen und die Invarianten der Ordnung \(Q + 1\) Funktionen der Invarianten der Ordnungen \(\leqq Q\) sind. Verf. nennt solche Bezugssysteme der Ordnung \(Q\) “repères de Frenet”. Die Bildung eines vollständigen Systems von Differentialvarianten mit diesen Methoden wird an vielen Beispielen dargelegt (ebene Kurven bei affiner und projektiver Gruppe, Flächen im euklidischen Raum).
Die im zweiten und dritten Abschnitt gegebene Darstellung der Theorie der \(r\)-gliedrigen kontinuierlichen Gruppen auf der Grundlage der repères mobiles ist jeweils eng mit den differentialgeometrischen Kapiteln verknüpft. (IV 7.)
Besprechungen: H. Weyl, Bull. Amer. math. Soc. 44 (1938), 598-601: A. Buhl, Enseign. math. 37 (1938), 87-89.