On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems. (English) JFM 63.1290.01

Williamson, J.

Amer. J. Math. 58, 141-163 (1936).

Hat man ein lineares konservatives dynamisches System von \(m\) Freiheitsgraden, so heißt das Differentialgleichungssystem \[ B\frac{dX}{dt}=A \tag{*} \] kanonisch, wenn \[ B=\left(\begin{matrix}\l \;&\\ O & -E_m\\ E_m & O\end{matrix}\right) \] (\(E_m = m\)-dimensionale Einheitsmatrix) und \(A\) eine symmetrische Matrix ist. \(X\) ist hierbei die einspaltige Matrix der Elemente \[ (x_1,\ldots,x_{2m})= (q_1,\ldots,q_m,p_1,\ldots,p_m). \] Die Matrix \(P\) heißt eine Hamiltonsche Matrix, wenn die Transformation \[ X= PY \] das System (*) wieder in ein kanonisches System transformiert.
Mit einem Satz von A. Wintner (Ann. Mat. pur. appl. (4) 13 (1934), 105-112; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1338) über derartige Matrizen wird für das System (*) eine Normalform angegeben. (III 2.)

Reviewer: Schröder, K., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 3. Statik und Dynamik.