Arithmetic and ideal theory of commutative semigroups. (English) JFM 64.0056.03

Clifford, A. H.

Ann. Math., Princeton, (2) 39, 594-610 (1938).

Die Frage nach der eindeutigen Faktorzerlegung in einem Integritätsbereich ist rein multiplikativ und wird deshalb hier auf eine beliebige “Halbgruppe” (semigroup) ausgedehnt, in der die Multiplikation ausführbar, assoziativ und kommutativ und ein Einselement vorhanden ist, die Umkehrung der Multiplikation aber weder möglich noch eindeutig zu sein braucht. Aus dem letzteren Grunde kann die Zerlegbarkeit eines Elementes auf zwei Arten erklärt werden, je nachdem man nur das Vorhandensein eines echten Teilers, der keine Einheit ist, oder schärfer die Zerlegbarkeit in echte Teiler fordert. Eindeutige Faktorzerlegung im Sinne des ersten dieser beiden Begriffe liegt, wie zunächst gezeigt wird, dann und nur dann vor, wenn die beiden Zerlegbarkeitsbegriffe zusammenfallen, gleichzeitig die Teilerkettenbedingung für Elemente erfüllt ist und schließlich jedes unzerlegbare Element \(p\) “vollständig prim” ist, d. h. die Eigenschaft hat, daß im Falle \(p^n|ab\) \((n > 0)\) stets \(p^n|a\) oder \(p|b\) sein muß. Die dritte Bedingung kann dabei durch das Aggregat der beiden folgenden ersetzt werden: Je zwei Elemente \(a\), \(b\) haben einen größten gemeinsamen Teiler \((a, b)\), und die Größen \(a(b, c)\) und \((ab, ac)\) sind stets assoziiert, d. h. Teiler voneinander. Statt dessen kann man jene dritte Bedingung auch durch die Forderung ersetzen, daß jedes “Ideal” -dieser Begriff wird nach dem Muster des Krullschen \(v\)-Ideals eingeführt – ein Hauptideal ist. Will man nun durch Einführung der Ideale die eindeutige Faktorzerlegung erzwingen und wünscht zugleich, daß aus Teilbarkeit von Idealen Produktdarstellung folgt, so ist dafür notwendig und hinreichend, daß für endliche Ideale die Teilerkettenbedingung erfüllt ist und daß sich für je zwei Ideale \(\mathfrak a\), \(\mathfrak b\) aus \(\mathfrak a\subset \mathfrak b\subset (1)\) auf \(\mathfrak a :\mathfrak b \supset \mathfrak a\) und \(\mathfrak a = (\mathfrak a : \mathfrak b) \mathfrak b\) schließen läßt. Zugleich liegt dieser Fall dann und nur dann vor, wenn man die gegebene Halbgruppe \(S\) nach Identifizierung assoziierter Elemente zu einer Halbgruppe \(\varSigma\) mit eindeutiger Faktorzerlegung erweitern kann, deren Teilbarkeitsbeziehungen mit denen von \(S\) in Einklang stehen und deren Elemente sich als größte gemeinsame Teiler endlicher Systeme aus \(S\) darstellen lassen. In diesem Falle ist die als “normal ideal arithmetic” bezeichnete Halbgruppe \(\varSigma\) bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und wird durch die Ideale von \(S\) gegeben. Für “reguläre” Halbgruppen, d. h. solche, in denen man aus \(ab =ac\) auf \(b=c\) schließen kann, fallen die beiden Zerlegbarkeitsbegriffe zusammen, ebenso die Begriffe “prim” und “vollständig prim”; falls \((a, b)\) durchweg existiert, sind \(a(b, c)\) und \((ab, ac)\) von selbst stets assoziiert. Dementsprechend vereinfachen sich dann die obigen Bedingungen für die eindeutige Faktorzerlegung. Reguläre Halbgruppen können durch Quotientenbildung in Gruppen eingebettet werden. Die Ideale einer regulären Halbgruppe \(S\) gestatten die eindeutige Faktorzerlegung dann und nur dann, wenn die endlichen unter ihnen der Teilerkettenbedingung genügen und die Halbgruppe \(S\) außerdem “vollständig ganz-abgeschlossen” ist, d. h. jedes Element \(\alpha\) ihrer Quotientengruppe enthält, für das \(\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\ldots\) einen gemeinsamen Nenner haben. Von selbst folgt dann für die Ideale aus Teilbarkeit Produktdarstellung. (III 5 B.)

Reviewer: Weber, W., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. A. Gruppen.