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A lattice formulation for transcendence degrees and \(p\)-bases. (English) JFM 64.0072.02

Van der Waerden (Moderne Algebra, Bd. I, 2. Aufl. (1937; F. d. M. \(63_{\text I}\), 82), S. 204) hat für die Beziehung “\(b\) hängt von \(S\) ab” folgendes Axiomensystem gegeben (eine feste Menge \(D\) mit den Elementen \(a, b,\ldots\) und Teilmengen \(S, T,\ldots\) ist zugrundegelegt): 1) \(a\) hängt stets von der Menge \(\{a\}\) ab; 2) hängt \(a\) von \(S\) ab und ist \(S\subseteqq T\), so hängt \(a\) von \(T\) ab; 3) hängt \(a\) von \(S\) ab, so von einer endlichen Teilmenge von \(S\); 4) hängt \(a\) von \(\{c_1,\ldots,c_n\}\) ab, aber von keiner Teilmenge, so hängt \(c_n\) von \(\{c_1,\ldots, c_{n-1}, a\}\) ab; 5) hängt \(a\) von \(S\) und jedes Element von \(S\) von \(T\) ab, so \(a\) von \(T\). – Eine Teilmenge \(S\subseteqq D\) heiße abgeschlossen, wenn \(S\) jedes von \(S\) abhängige Element enthält. Die abgeschlossenen Teilmengen von \(D\) bilden nun einen vollständigen Verband \(L\) mit den Eigenschaften: (1) Ist \(A\in L\) und sind \(P\) und \(Q\) Punkte (d. h. Nachbarn der Null), so folgt aus \(A<A + P\leqq A + Q\) stets \(Q\leqq A + P\) (dieses “Austauschaxiom” entspricht dem Austauschsatz von Steinitz); (2) gilt \(B < A\) in \(L\), so gibt es einen Punkt \(P\) mit \(B<B+P\leqq A\); (3) ist \(M\) eine Menge von Punkten und \(P\) ein Punkt in \(L\) mit \(P\leqq\varSigma(M)\), so gibt es endlich viele Punkte \(P_i\in M\) mit \(P \leqq P_1+\cdots+ P_n\). Umgekehrt ergibt sich in jedem solchen Verband leicht ein 1) bis 5) erfüllender Abhängigkeitsbegriff. – Verf. untersucht diese “Austauschverbände” näher. Sie brauchen nicht modular zu sein, wie aus einem Beispiel hervorgeht, das aus den algebraisch abgeschlossenen Teilkörpern eines Körpers besteht. Doch gilt, daß zwei durch eine Hauptkette der Länge \(n\) verbundene Elemente nur durch Hauptketten derselben Länge verbindbar sind. -Eine Menge \(M\) von Punkten aus \(L\) heißt eine Basis für das Element \(B\in L\), wenn \(B=\varSigma(M)\) und \(M\) aus lauter unabhängigen Elementen besteht, d. h. kein Punkt in der Vereinigung endlich vieler anderer Punkte aus \(M\) liegt. Der Hauptsatz über Austauschverbände ist: Sind \(M\) und \(N\) zwei Basen für \(B\), so haben \(M\) und \(N\) die gleiche Kardinalzahl. Als Anwendungen ergibt sich die Invarianz des Transzendenzgrades eines Körpers und der Kardinalzahl einer Relativ-\(p\)-Basis einer rein inseparablen Erweiterung eines Körpers der Charakteristik \(p\). Weitere Untersuchungen über ähnliche Austauschprozesse wie (1) und den Zusammenhang mit der Mengerschen Grundlegung der affinen Geometrie. (V 1.)
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