×

zbMATH — the first resource for mathematics

Une généralisation de la notion de corps. (French) JFM 64.0086.03
In etwas vereinfachter Darstellung handelt es sich um folgendes:
\(E\) sei eine beliebige Menge. \(E_n\) bezeichne die Menge der \(n\)-tupel aus Elementen von \(E\). Entsprechend werde \(E_\varOmega\) für beliebige Kardinalzahlen \(\varOmega\) definiert. Die Elemente \(P\) von \(E_\varOmega\) heißen “Punkte der Dimension \(\varOmega\)”. Die Untermengen \(r\) von \(E_\varOmega\) heißen “Relationen der Dimension \(\varOmega\)”.
Durch Anwendung einer Permutation \(\sigma\) von \(E\) entsteht aus \(P\) ein Punkt \(\sigma P\), aus \(r\) eine Relation \(\sigma r\). \(r\) heißt invariant bezüglich \(\sigma\), falls \(\sigma r = r\) ist. \(\mathfrak G_0\) sei die Gruppe aller Permutationen von \(E\), \(\mathfrak G\) eine Untergruppe von \(\mathfrak G_0\). \(R_{\mathfrak G}\) bezeichne die Menge der Relationen, die bezüglich aller Permutationen aus \(\mathfrak G\) invariant sind. Ist \(R\) eine Menge von Relationen, so bezeichne \(\mathfrak G_R\) die Gruppe der Permutationen, bezüglich der alle Relationen aus \(R\) invariant sind. Dann gilt: \[ \mathfrak G=\mathfrak G_{R_{\mathfrak G}}. \] Die Mengen \(R_{\mathfrak G}\) heißen “Körper”. Die Körper sind charakterisiert als die Mengen von Relationen, die abgeschlossen sind bezüglich der Bildung von Durchschnitt, Komplement und ähnlichen Operationen, die als “Fundamentaloperationen” bezeichnet werden.
Durch Anwendung von \(\sigma\) entsteht aus einem Körper \(K\) ein Körper \(\sigma K\). \(\sigma K\) heißt “isomorph” zu \(K\). Die Isomorphismen von \(K\) sind charakterisiert als die Transmutationen von \(K\) in einen Körper, die isomorph sind bezüglich der Fundamentaloperationen.
Es gilt: \(\mathfrak G_{\sigma K}=\sigma \mathfrak G_k\sigma^{-1}\). Die Isomorphismen von \(K\) entsprechen umkehrbar eindeutig den Rechtsrestklassen von \(\mathfrak G_0/\mathfrak G_K\), bilden also eine Hypergruppe.
Man erhält jetzt Sätze, die den Sätzen der Galoisschen Theorie völlig analog sind. Zum Schluß deutet Verf. ganz kurz an, daß die Galoissche Theorie ein Spezialfall der dargestellten Theorie ist. Eine ausführliche Veröffentlichung soll folgen.

PDF BibTeX XML Cite