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Zur algebraischen Theorie der algebraischen Funktionen. (German) JFM 64.0088.02

Verf. entwickelt eine neue Methode zum Beweis des Riemann-Rochschen Satzes, die sich durch eine eigenartige mit ihr verbundene Methode zur Einführung der Differentiale auszeichnet. Sei \(K\) ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten über einem beliebigen Konstantenkörper \(k\). Unter den \(\mathfrak p\)-adischen Entwicklungskoeffizienten eines Elements \(z\) aus \(K\) für einen Primdivisor \(\mathfrak p\) von \(K\) werden die in \(k\) gelegenen Koeffizienten \(c_{i\nu}\) der Entwicklung \[ z=\sum_{\nu\gg-\infty}\sum_{i=1}^{n(\mathfrak p)}c_{i\nu}\omega_i\pi^\nu \] verstanden, wo \(\pi\) ein festes Primelement zu \(\mathfrak p\) aus \(K\) und \(\omega_i\) ein festes Vertretersystem aus \(K\) einer Basis des Restklassenkörpers \(\mod \mathfrak p\) ist. Für einen ganzen Divisor \(\mathfrak a\) aus \(K\) bezeichne \(L(\mathfrak a)\) den \(k\)-Modul der Vielfachen von \(\dfrac 1{\mathfrak a}\) aus \(K\), ferner \(l(\mathfrak a)\) den Rang von \(L(\mathfrak a)\) und \(n(\mathfrak a)\) den Grad von \(\mathfrak a\). Es wird zunächst durch Betrachtung der \(\mathfrak p\)-adischen Entwicklungen gezeigt, daß \(l(\mathfrak a)\) endlich, nämlich \(l(\mathfrak a)\leqq n(\mathfrak a) + 1\) ist, und daß \(n(\mathfrak a)- l(\mathfrak a) + 1\) eine von \(\mathfrak a\) unabhängige endliche obere Grenze \(g\) hat. Sei \(g\) ein fester ganzer Divisor mit \[ n(\mathfrak g)-l(\mathfrak g)+1 = g. \] Verf. betrachtet dann die linearen Formen mit Koeffizienten aus \(k\) in endlich vielen Koeffizienten der \(\mathfrak p\)-adischen Entwicklungen der Elemente \(z\) aus \(L(\mathfrak g)\), und zwar diejenigen solcher linearen Formen, die für jedes \(z\) aus \(L(\mathfrak g)\) verschwinden. Jeder solchen linearen Form ordnet er ein neues Ding \(\omega\) umkehrbar eindeutig zu, das er ein Differential von \(K\) nennt; die \(\omega\) zugrundeliegende lineare Form bezeichnet er mit \(\oint z\omega\). Er zeigt, daß diese Definition (bei geeigneter eindeutiger “Fortsetzung” der linearen Formen \(\oint z\omega\) auf Elemente \(z\) aus Moduln \(L(\mathfrak m)\) für Vielfache \(\mathfrak m\) von \(\mathfrak g\)) von der Wahl von \(\mathfrak g\) unabhängig ist, und daß (in diesem Sinne) \(\oint z\omega= 0\) für jedes \(z\) aus \(K\) gilt. Das Bestehen von \(\oint (zx)\omega=0\) für jedes \(z\) aus \(K\) bei festem \(x\) aus \(K\) führt zur Definition von \(x\omega\) als Differential von \(K\). Es wird bewiesen, daß jedes Differential von \(K\) in der Form \(x\omega\) mit festem \(\omega\) und geeignetem \(x\) aus \(K\) darstellbar ist. Ein Differential \(\omega\) heißt durch einen ganzen Divisor \(\mathfrak a\) teilbar, wenn für jedes \(z\) aus \(L(\mathfrak a)\) die lineare Form \(\oint z\omega\) überhaupt keinen (für die \(z\) aus \(L(\mathfrak a)\) wirklich auftretenden) Entwicklungskoeffizienten von \(z\) mit nicht-verschwindendem Koeffizienten enthält; die durch 1 teilbaren Differentiale heißen ganz. Dann erweist sich der Rest \(r(\mathfrak a)\) in \[ l(\mathfrak a) = n(\mathfrak a) + 1 - g + r(\mathfrak a) \] als die Anzahl der über \(k\) linear-unabhängigen durch \(\mathfrak a\) teilbaren Differentiale, und \(g\) als die Anzahl der über \(k\) linear-unabhängigen ganzen Differentiale. Ist \(\mathfrak d_\omega\) ein Teiler größtmöglichen Grades eines durch \(\mathfrak a\) teilbaren ganzen Differentials \(\omega\), so hängt \(n(\mathfrak d_\omega) = n(\omega)\) nur von \(\omega\) ab, und jeder Teiler von \(\omega\) ist auch Teiler von \(\mathfrak d_\omega\). Es findet sich \(n(\omega) = 2g - 2\) und \[ r(\mathfrak a)=l\left(\frac{\mathfrak d_\omega}{\mathfrak a}\right). \] Damit sind formal alle Aussagen des Riemann-Rochschen Satzes gewonnen. Der Anschluß an den gewöhnlichen Differentialbegriff im Falle eines separabel-erzeugbaren Körpers \(K\) ergibt sich aus dem Residuensatz \(\oint zdx=0\), nach dem ja \(dx\) als Differential in obigem Sinne angesehen werden kann.
Zum Schluß gibt Verf. noch eine Deutung der Ausdrücke \(\oint z\omega\) im Analogon des Ringes der von Chevalley für Zahlkörper eingeführten idealen Elemente (sog. Idele).
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Full Text: DOI Crelle EuDML