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An introduction to the theory of numbers. (English) JFM 64.0093.03

Oxford: Clarendon Press. xvi, 403 p. (1938).
Diese ausgezeichnete Einführung in die Zahlentheorie setzt nur sehr wenige Vorkenntnisse voraus, insbesondere keine Funktionentheorie. Sie dürfte für Studenten aus den ersten Semestern leicht verständlich sein. Andererseits gibt das Buch so viel Wissenswertes und Originelles, daß es auch für den Kenner von großem Interesse ist. Die Noten am Ende eines jeden Kapitels verweisen auch auf die neueste Zeitschriftenliteratur.
Inhaltsverzeichnis:
I. The series of primes (1); II. The series of primes (2); III. Farey series and a theorem of Minkowski (jede konvexe Kurve in einer Ebene mit dem Koordinatenanfang als Mittelpunkt und Flächeninhalt \(\ge 4\) enthält wenigstens einen Gitterpunkt); IV. Irrational numbers; V. Congruences and residues (enthält u. a. die Konstruktion des regelmäßigen 17-Ecks); VI. Fermat’s theorem and its consequences (quadratische Reste und Eisensteinscher Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes); VII. General properties of congruences (Wurzeln von Polynomkongruenzen \(\mod p\) mit Anwendung auf die Sätze von Fermat, Wilson, Wolstenholme und von Staudt); VIII. Congruences to composite moduli (mit Anwendung auf Sätze von Bauer und Leudesdorf);
IX. The representation of numbers by decimals; X. Continued fractions; XI. Approximation of irrationals by rationals (algebraische und transzendente Zahlen; Transzendenz von \(e\) und \(\pi\)); XII. The fundamental theorem of arithmetic in \(k(1)\), \(k(i)\) and \(k(\rho)\); XIII. Some diophantine equations (\(x^n+y^n=z^n\) für \(n =2, 3, 4\); \(x^3+y^3=3z^3\); Darstellung einer Rationalzahl als Summe von Kuben rationaler Zahlen; \(x^3+y^3+z^3=t^3\));
XIV. Quadratic fields (1) (ganze Zahlen, Einheiten, Primzahlen, quadratische Körper mit Euklidischem Algorithmus); XV. Quadratic fields (2) (Primzahlen in einigen speziellen quadratischen Körpern, Satz von Lucas über die Zahlen von Mersenne; Ideale);
XVI. The arithmetical functions \(\varphi(n)\), \(\mu(n)\), \(d(n)\), \(\sigma(n)\), \(r(n)\); XVII. Generating functions of arithmetical functions (Dirichletsche Reihen); XVIII. The order of magnitude of arithmetical functions (Anzahl \(d(n)\) und Summe \(\sigma(n)\) der Teiler von \(n\), die Eulersche Funktion \(\varphi(n)\), Anzahl der quadratfreien Zahlen \(\leqq x\); Anzahl \(r(n)\) der Darstellungen von \(n\) durch eine Summe von zwei Quadraten);
XIX. Partitions (Sätze von Euler, Jacobi, Rogers, Ramanujan); XX. The representation of a number by two or four squares (mit mehreren Beweisen für die Formeln für die Anzahl der Darstellungen); XXI. Representation by cubes and higher powers;
XXII. The series of primes (3) (elementare Sätze über \(\pi(x)\); der Satz von Tschebyscheff; Anzahl der verschiedenen Primteiler von \(n\)); XXIII. Kronecker’s Theorem (der Kroneckersche Approximationssatz mit den Beweisen von Lettenmeyer, Estermann, Bohr; Gleichverteilung \(\mod 1\)); XXIV. Some more theorems of Minkowski (über Linearformen). (III 7, 8.)

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Axx Elementary number theory
11Hxx Geometry of numbers
11Jxx Diophantine approximation, transcendental number theory
11Mxx Zeta and \(L\)-functions: analytic theory
11Nxx Multiplicative number theory
11Pxx Additive number theory; partitions
11Rxx Algebraic number theory: global fields