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One-parameter families of transformations. (English) JFM 64.0192.04
\(\mathfrak F\) sei ein \(\sigma \)-Körper von Mengen einer Menge \(Q\); \(\varGamma _tF\), \(F\in \mathfrak F\), sei eine Abbildung von \(\mathfrak F\) in sich, bei festem \(F\) für fast alle reellen \(t\) erklärt. Mit \(\varGamma _{t_1}F\) und \(\varGamma _{t_2}\varGamma _{t_1}F\) sei auch \(\varGamma _{t_2+t_1}F\) definiert und gleich \(\varGamma _{t_2}\varGamma _{t_1}F\); ferner seien mit \(\varGamma _tF_n\), \(n=1\), 2,…, auch \(\varGamma _t\sum\limits_{n}F_n\) und \(\varGamma _t\prod\limits_{n}\,F_n\) erklärt und gleich \(\sum\limits_{n}\varGamma _tF_n\) bzw. \(\prod\limits_{n}\varGamma _tF_n\). Daneben werden eindeutige Mengentransformationen \(\varGamma _t(M)\) betrachtet mit analogen Eigenschaften und erklärt über dem durch Vervollständigung gewonnenen \(\sigma \)-Körper der \(\mu \)-meßbaren Mengen, wo \(\mu F\) eine über \(\mathfrak F\) erklärte nicht-negative, volladditive Mengenfunktion bedeutet. Dabei soll \(\mu M=0\) stets \(\mu \varGamma _tM\equiv 0\) nach sich ziehen. Für den Fall, daß \(\{\varGamma _t\}\) eine meßbare Familie, d. h. die Menge der Punkte \((t, q)\), \(t\in T\), \(q\in \varGamma _tM\), im Produktraum \(T\times Q\) \((t, q)\)-meßbar ist (\(T =\) Zahlgerade, \(t\)-Maß \(=\) Lebesgue-Maß), beweist Verf. für das Mengensystem \(\{N\cdot \varGamma _tM\}\) eine Reihe von Meßbarkeitseigenschaften, ferner Aussagen über den tatsächlichen Definitionsbereich von \(\varGamma _t\), über die Darstellbarkeit von \(\mu \varGamma _tM\) in der Gestalt \(\int\limits_{M}\varphi (t, q)\,d\mu \). Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen für die Stetigkeit von \(\mu N\cdot \varGamma _tM\) als Funktion von \(t\) angegeben, hinreichende Bedingungen für die Unterhalbstetigkeit. Eine wichtige Anwendung dieser Ergebnisse betrifft die Stetigkeit der Trajektorien einer einparametrigen Transformationsgruppe eines separablen Hausdorffschen Raumes. Schließlich wird ein Satz bewiesen, wonach, kurz gesagt, die Familie der Mengentransformationen \(\varGamma _t\) mit einer vermöge punktueller Transformationen erzeugten Familie von Mengentransformationen in einem gewissen Sinne äquivalent ist. Den Untersuchungen gehen mehrere allgemein formulierte Hilfssätze über Maße in Produkträumen voraus.

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