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Sur un théorème de l’analyse fonctionnelle. (French) JFM 64.0208.03
In einer früheren Arbeit (C. R. Acad. Sci. URSS 1936\(_{\text{I}}\), 279-282; 1936\(_{\text{III}}\), 107; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 266) betrachtete Verf. die Menge aller in einem abgeschlossenen Bereich \(B\) stetigen Funktionen von \(n\) Veränderlichen, deren Ableitungen bis zur Ordnung \(s\) stetig sind, und unter diesen Funktionen die Menge \(\mathfrak{M}\) aller stetigen Funktionen, bei welchen die in \(B\) gebildeten Integrale der Quadrate der Ableitungen bis zur Ordnung \(s\) unterhalb einer bestimmten Schranke liegen. Es ergaben sich Sätze über die Beschränktheit und Höldersche Stetigkeit der Funktionen von \(\mathfrak{M}\).
In der vorliegenden Arbeit werden diese Betrachtungen weitergeführt, indem zuerst der Begriff der Ableitung verallgemeinert und dann an Stelle der Menge \(\mathfrak{M}\) Funktionen \(f\) untersucht werden, die Ableitungen im neuen Sinne bis zur Ordnung \(s\) haben, wobei die \(p\)-te Potenz dieser Ableitungen \(\left( p \leqq \dfrac{n}{s} \right)\) summierbar sein soll. Es zeigt sich, daß \(|\, f \,|^q\) summierbar ist, wobei \(\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{p}-\dfrac{s}{n}\) ist. Das in dem zugrunde gelegten Bereich \(B\), der ebenfalls verallgemeinert wird, gebildete Integral von \(|\, f \,|^q\) läßt sich durch die Integrale von \(|\, f \,|^r\) darstellen, wo \(1 \leqq r \leqq q\) ist, und es gilt \[ \left( \int\limits_B |\, f \,|^q \, d \tau \right)^{\frac{1}{q}} \leqq \alpha \, \left( \int\limits_B |\, f \,|^r \, d \tau \right)^{\frac{1}{r}} + \beta \left( \int\limits_B \sum_{s_1, \ldots \!, s_n} \left|\, \frac{\partial^s \, f} {\partial x_1^{s_1} \ldots \partial x_n^{s_n}} \, \right|^p \, d \tau \right)^{\frac{1}{p}}, \] wobei die Konstanten \(\alpha\) und \(\beta\) nicht von \(f\), sondern nur von \(p\), \(q\), \(r\) und \(n\) abhängen. (IV 3 B.)

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