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Proof of a gap theorem. (English) JFM 64.0223.01

N. Wiener (Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. 2 (1934), 367-372; F. d. M. 60\(_{\text{I}}\), 247) hat mit Hilfe der Fourier-Transformation bewiesen: Die trigonometrische Reihe \[ \tfrac{1}{2} a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k \, \cos \, \lambda_k x + b_k \, \sin \, \lambda_k x) \tag{1} \]
\[ (0=\lambda_0 < \lambda_1 < \cdots, \; \lambda_n-\lambda_{n-1} \geqq \varDelta > 0; \; a_k, \, b_k \; \text{ reell}) \] sei in einem Intervall \((a, \,b)\) von der Länge \(\delta=b-a\) quadratisch beschränkt, d. h. ihre Teilsummen \[ s_n(x)=\tfrac{1}{2} a_0 + \sum_{k=1}^{n} (a_k \, \cos \, \lambda_k x + b_k \, \sin \, \lambda_k x) \qquad (n=1, \,2, \ldots) \] erfüllen für eine passende Zahl \(M\) die Bedingung \[ \int\limits_{a}^{b} s_n^2(x) \, dx \leqq M^2. \tag{2} \] Ist dann \(\varDelta\) hinreichend groß, \(\varDelta \geqq \varDelta_0 = \varDelta_0(\delta)\), so ist \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} (a_k^2 +b_k^2)\) konvergent und \[ \tfrac{1}{2} a_0^2 + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 +b_k^2) \leqq A(\delta) \,M^2, \tag{3} \] wo \(A(\delta)\) ein nur von \(\delta\) abhängiger Wert ist.
In der vorliegenden Note wird ein neuer, elementarer Beweis dieses Satzes gegeben. Er liefert auch die von Wiener angegebene Verallgemeinerung des Satzes, wonach die Behauptung richtig bleibt, wenn an Stelle der quadratischen Beschränktheit der Teilsummen \(s_n(x)\) von (1) nur die ihrer Abelschen Mittel vorausgesetzt wird.
Wiener hat verschiedene Anwendungen des Satzes gegeben. Als weitere Anwendung wird hier noch bewiesen: Eine ganze Funktion \[ f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} c_k z^{\lambda_k} \quad \text{mit} \quad \lambda_k - \lambda_{k-1} \to \infty \] ist in jedem Winkelraum \(\alpha \leqq \text{ arc} \, z \leqq \beta\) von derselben Ordnung und demselben Typus. (IV 4 F.)

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