Sulla convergenza e sommabilità delle serie di Hermite: Disuguaglianze fondamentali per i polinomi di Laguerre ed Hermite. (Italian) JFM 64.0237.02

Ottaviani, G.

Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. (2) 7, 1-23 (1938).

Die von dem Ausdruck \[ \exp \left(-\frac{xz}{1 - z}\right)(1-z)^{-\alpha-1} = \sum_{n=0}^\infty L_n^{(\alpha)}(x) z^n \] erzeugten Laguerreschen Polynome \(L_n^{(\alpha)}(x)\) werden bei beliebigen Werten des reellen Parameters \(\alpha\) nach Fejér und Perron durch \[ L_n^{(\alpha)}(x) = O\left[e^{\tfrac x2} x^{-\tfrac 12} \left(\frac nx\right)^{\tfrac{\alpha}{2}- \tfrac 14}\right] \quad \text{ in } \quad 0 < x \leqq O\left(n^{\tfrac 13}\right) \tag{1} \] abgeschätzt. Kogbetliantz suchte (Ann. sci. École norm. sup. (3) 49 (1932), 137-221 (F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 286), insbesondere S. 149-157) (1) auf das Gebiet \(0 < a \leqq x \leqq kn\) auszudehnen, wo \(k\) beliebig groß, aber endlich. Verf. zeigt, daß die Schlüsse von Kogbetliantz zunächst nur für \(0 < a \leqq x \leqq n\) stichhalten; er selbst beweist dann (1) im Gebiete \((a, kn)\), \(k < 4\). Sodann leitet er folgende asymptotische Darstellung her: \[ \begin{split} (2) \;\quad L_n^{(\alpha)}(x) = e^{\tfrac x2}(\pi x)^{-\tfrac 12} \left(\frac nx\right)^{\tfrac{\alpha}{2}- \tfrac 14} \left(1-\dfrac{x}{4n}\right)^{-\tfrac 14}\Bigg\{\cos\,\left[\psi(x, n, \alpha) - \dfrac{\alpha \pi}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right] \\ + O \left[(nx)^{-\tfrac{1}{12}} \left(1-\dfrac{x}{4n}\right)^{-\tfrac 14}\right]\Bigg\}, \qquad \dfrac{1}{o(n)} \leqq x \leqq 4n\left[1 - \dfrac{1}{o(n^{\frac 13})}\right], \end{split} \]
\[ \psi(x, n, \alpha) = \sqrt{n_1x} \sqrt{1 - \dfrac{x}{4n_1}} + 2n_1 \text{ arc sin} \dfrac 12 \sqrt{\dfrac{x}{n_1}}, \;n_1 = n + \dfrac{\alpha + 1}{2}. \]
(2) und die weiterhin angeführten Formeln gelten für \(\alpha \geqq -1\); auf die Wiedergabe der vom Verf. durchweg auch für \(\alpha < -1\) erzielten Ergebnisse sei verzichtet. – Aus (2) ersieht man, daß (1) nicht überall gilt; vielmehr ist in \[ \frac{1}{O(n)} \leqq x \leqq 4n\left[1 - \frac{1}{O(n^{\frac 23})} \right]: \quad L_n^{(\alpha)}(x) = O\left[e^{\tfrac x2} x^{-\tfrac 12} \left(\frac nx\right)^{\tfrac{\alpha}{2}- \tfrac 14} \left(1 - \frac{x}{4n}\right)^{-\tfrac 14}\right]. \] Verf. findet weiter, daß im Gebiete \[ 4n\left[1 - \frac{1}{O(n^{\frac 23})}\right] \leqq x \leqq 4n\left[1 + \frac{1}{O(n^{\frac 23})}\right]: \quad L_n^{(\alpha)}(x) = O\left(e^{\tfrac x2} n^{-\tfrac 13}\right) \] und in \[ 4n\left[1 + \frac{1}{O(n^{\frac 23})}\right] \leqq x \leqq k_1n, \;4 < k_1 < 6: \quad L_n^{(\alpha)}(x) = O\left[e^{\tfrac x2} \left(\frac x4 - n\right)^{-1}\right] \] ist. Für \(x > k_1n\), \(k_1 > 4\) endlich erhält er \[ L_n^{(\alpha)}(x) = O\left[e^{\tfrac x2 (1-\varepsilon)}\right], \] worin \(\varepsilon \neq 0\) um so kleiner, je näher \(k_1\) an 4. -Verf. schließt mit den entsprechenden Abschätzungen der Hermiteschen Polynome als Sonderfälle der \(L_n^{(\alpha)}(x)\). (IV 6 B.)

Reviewer: Koschmieder, L., Prof. (Graz)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.