Théorie des fonctions d’une variable complexe définies sur des ensembles généraux. (French) JFM 64.0259.01

Trjitzinsky, W. J.

Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 55, 119-191 (1938).

Es sei \(K\) das von einer einfachen rektifizierbaren Kurve \((K)\) begrenzte Gebiet der \(z\)-Ebene (\(z = x + iy\)); \(E\) eine geschlossene Menge aus \(K + (K)\) und \(C(E) = K + (K)-E\). Eine auf \(E\) definierte Funktion \(f (z) = u (x, y) + iw(x, y)\) heißt “monogène générale” (m. g.), wenn \(u\) und \(w\) sowie ihre ersten und zweiten Ableitungen in \(E\) stetig sind und dort den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen. (Außerdem kann \(w\) in \(E\) mehrdeutig sein.) Eine in \(K + (K)\) eindeutige und dort mit ihren ersten und zweiten Ableitungen stetige Funktion \(v (x, y)\) heißt eine Ausdehnungsfunktion von \(u (x, y)\) (“fonction associée d’extension”), wenn \(v\) sowie ihre ersten und zweiten Ableitungen mit denen von \(u (x, y)\) auf \(E\) übereinstimmen. Es werden vom Verf. folgende zwei Grundformeln aufgestellt: \[ 2\pi f(\alpha) = h(\alpha) + \iint\limits_{C(E)} \log (z - \alpha)\, \varDelta v (x, y)\, dxdy, \tag{1} \]
\[ 2\pi f^\prime (\alpha) = h^\prime (\alpha) - \iint\limits_{C(E)} \frac {\varDelta v (x, y)\, dxdy}{z - \alpha}, \tag{2} \] wo \(\alpha\) in \(E\) gelegen und \(h(\alpha )\) in \(K\) analytisch ist. Es seien \(\gamma_i\) in \(K\) gelegene, \(C (E)\) überdeckende Kreise, die mit \(i\to \infty\) nach Null streben. Es sei anderseits \(\varrho\) die Entfernung von \(z \in C (E)\) nach der Grenze von \(E\) und \(b (\varrho )\) eine mit \(\varrho\) nach Null strebende Funktion, so daß \(| \varDelta v(x, y) | \leqq b (\varrho )\) ist.
Es werden sodann (1) und (2) angewandt auf die Lösung zahlreicher Fragen, (m. g.) Funktionen in \(E\) betreffend.
Als Beispiel solcher sei hervorgehoben: Die Bestimmung der Geschwindigkeit des Abnehmens von \(\gamma_i\) (oder von \(b(\varrho)\) ), so daß 1) für \(f(\alpha)\) in \(E\) die \(m\)-te Ableitung existiert; 2) \(f(\alpha)\) in \(E\) durch eine absolut und gleichmäßig konvergente Reihe von analytischen Funktionen dargestellt werden kann; 3) \(f(\alpha)\) in \(E\) quasi-analytisch ist. Dabei wird ein von Caccioppoli (Rend. Sem. mat. Univ. Padova 5 (1934), 122-147; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1005) bewiesenes Ergebnis verallgemeinert.

Reviewer: Stoïlow, S., Prof. (Bukarest)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. A. Nichtanalytische Funktionen.