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Etude sur la détermination des singularités de la fonction analytique définie par une série de Taylor. (French) JFM 64.0265.01
Sei \(C (a, b)\) eine zweiparametrige Schar von Jordankurven und sei \(S(a,b)\) das eine der beiden von \(C(a,b)\) begrenzten Gebiete. Speziell der Parameter \(b\) sei so beschaffen, daß \(S(a,b)\) mit \(b\) wächst, d. h. für \(b' > b\) sei \(S(a, b')\supset S (a,b) + C (a, b)\). Ist dann irgendeine abgeschlossene Punktmenge \(H\) gegeben, so möge es solche \(b\) geben, daß \(S(a,b)\) keine Punkte von \(H\) enthält, und auch solche \(b'\), daß \(S(a,b')\) wenigstens einen Punkt von \(H\) enthält. Diese Zahlen \(b'\) haben dann eine untere Grenze, die eine Funktion \(\psi(a)\) von \(a\) und so beschaffen ist, daß das Gebiet \(S(a,\psi(a))\) keinen Punkt mit \(H\) gemein hat, während die Randkurve \(C(a,\psi(a))\) eine abgeschlossene Teilmenge von \(H\) (wenigstens einen Punkt) enthält. Unter gewissen Voraussetzungen läßt sich zeigen, daß die Funktion \(\psi(a)\) eine vordere und hintere Derivierte \(\psi'(a+0)\) und \(\psi'(a-0)\) hat und daß die einparametrige Schar \(C(a,\psi(a))\) eine Enveloppe besitzt, die mit jeder Einzelkurve \(C(a,\psi(a))\) gewisse Punkte von \(H\) gemein hat. Bedeutet insbesondere \(H\) die Menge der singulären Punkte einer analytischen Funktion, so kann man nach diesem Prinzip die Lage gewisser Teilmengen von \(H\) fixieren.
Verf. wendet das hauptsächlich auf drei Fälle an.
Erstens läßt sich die Mandelbrojtsche Formel für einen singulären Punkt auf dem Konvergenzkreis der Reihe \(\sum a_n z^{-n-1}\) gewinnen. Zu dem Zweck nimmt man bei festem \(\vartheta\) für \(C(a,b)-C(h, R)\) Kreise mit dem Mittelpunkt \(-he^{i\vartheta}\) und dem Radius \(R\) und für \(S(a,b)=S(h, R)\) das Äußere dieser Kreise. Die Bestimmung der Funktion \(R=\psi(h)\) derart, daß auf \(C(h,\psi(h))\) ein singulärer Punkt liegt, in \(S(h,\psi(h))\) aber nicht, gelingt sofort, indem man \(\sum a_n(z - he^{i\vartheta})^{-n}\) in eine Reihe nach fallenden Potenzen von \(z\) entwickelt, deren Konvergenzbereich dann gerade \(|z|> R= \psi(h)\) ist. Die Berührungspunkte der Kreise \(C(h,\psi(h))\) mit ihrer Enveloppe liefern dann gewisse singuläre Punkte. Speziell auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt \(h=0\) liefern die aus \(\psi'(+ 0)\) und \(\psi'(- 0)\) zu berechnenden Berührungspunkte die den Punkten \(e^{i\vartheta}\) und \(-e^{i\vartheta}\) nächstgelegenen singulären Punkte.
Zweitens wird durch Betrachtung derselben Kreise und durch einige analytische Rechnungen der folgende Satz von Pólya (Math. Z. 29 (1929), 549-640; F. d. M. \(55_{\text I}\), 186) gewonnen: Die konvexe Hülle der Singularitäten der Funktion \(\sum a_nz^{-n-1}\) ist die Enveloppe der Geraden \[ x \cos\vartheta+ y\sin\vartheta= \varlimsup_{r\to\infty} r^{-1}\log|F(re^{-i\vartheta})|, \quad \text{wobei} \quad F(z) =\sum\frac{a_n}{n!}z^n. \]
Drittens wird der Rand des Mittag-Lefflerschen Sternes bestimmt. Um auf einem Strahl, z. B. auf der positiven Achse, den dem Nullpunkt nächstgelegenen singulären Punkt der durch das Funktionselement \(\sum a_nz^n\) gegebenen Funktion zu finden, nimmt Verf. als Kurven \(C(a, b)=C(\varepsilon, R)\) die durch die Transformation \(z= R [1 - (1 -\tau)^\varepsilon]\) dem Einheitskreis \(|\tau|=1\) entsprechenden Kurven und als \(S(a,b)=S(\varepsilon,R)\) ihr Inneres; dabei muß \(0 <\varepsilon\leqq1\) sein. Man kann dann wieder \(R\) so als Funktion von \(\varepsilon\) bestimmen: \(R=\psi(\varepsilon)\), daß auf den Kurven \(C(\varepsilon,\psi(\varepsilon))\) singuläre Punkte liegen, im Innern aber nicht. Die vorderen und hinteren Derivierten \(\psi'(\varepsilon+0)\) und \(\psi'(\varepsilon-0)\) führen dann zu gewissen singulären Punkten, im allgemeinen aber noch nicht zu dem gesuchten auf der positiven Achse liegenden; dieser ergibt sich erst als Häufungspunkt für \(\varepsilon\to 0\).
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