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Sur les singularités des fonctions analytiques. (French) JFM 64.0266.04
Verf. gibt Sätze zur Bestimmung der Singularitäten einer durch ihre Potenzreihe gegebenen Funktion, die auf denselben Grundgedanken beruhen wie das Ergebnis von Mandelbrojt in C. R. Acad. Sci., Paris, 204 (1937), 1456-1458 (F. d. M. \(63_{\text I}\), 251). Er führt die Untersuchungen jedoch insofern weiter, als er die Pole im Meromorphiekreis gesondert erfaßt; ferner, indem er Aussagen über die Singularitäten außerhalb des Konvergenzkreises in der Nähe einer Singularität auf diesem macht. Er stützt sich dabei auf die bekannten Untersuchungen von Hadamard (J. Math. pur. appl. (4) 8 (1892), 101-186; F. d. M. 24, 359 (JFM 24.0359.*)).
\(f(z)=\sum a_\nu z^\nu\) sei eine gegebene Potenzreihe, \(R_\infty\) ihr Meromorphieradius. Die Pole in \(|z|\leqq R_\infty\) werden nach wachsendem Betrag, bei gleichem Betrag nach wachsendem Betrag des Argumentes geordnet; \(z_1,z_2,\ldots\) sei die entstehende Folge, wobei jeder Pol sooft angeschrieben werde, wie seine Vielfachheit angibt. Es sei \(R_n(0) = |z_n|\), \(\omega_n=|\arg z_n|\); \(R_n(r)\) ist entsprechend wie \(R_n(0)\) definiert, wenn \(f(z)\) um \(z=r > 0\) entwickelt wird. Dann gilt: \[ -\cos\omega_n=\left. \frac{dR_n(r)}{dr}\right|_{r=0} \] – übrigens ein rein punktmengentheoretisches Ergebnis und vom Verf. auch als solches hergeleitet (vgl. von Mises, C. R. Acad. Sci., Paris, 205 (1937), 1353-1355; F. d. M. \(63_{\text I}\), 649). Auch das Argument der bei obiger Ordnung ersten nicht polaren Singularität erhält man so. Nach Hadamard läßt sich \(R_n(r)\) durch die \(a_n\) ausdrücken, und dasselbe gilt also auch von \(\omega_n\).
Ist ferner \(b\) eine Singularität auf dem Rande des Konvergenzkreises \(|z| < R_1\) von \(f(z)\), so gelingen Aussagen über die Richtungen, aus denen sich aus \(|z| > R_1\) Singularitäten gegen \(b\) häufen, und zwar ebenfalls mittels der Koeffizienten der Taylorentwicklung.
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Full Text: DOI Numdam EuDML