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A theorem of Lusin. (English) JFM 64.0268.01

I. Eine in \(|z|<1\) analytische Funktion \[ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n \] heißt für ein \(\lambda>0\) zur Klasse \(H^\lambda\) gehörig, wenn \[ I_\lambda(r,f)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^\lambda d\theta \] für \(r<1\) beschränkt ist. Aus der Zugehörigkeit von \(f(z)\) zur Klasse \(H^\lambda\) folgt für fast alle \(\theta\) die Existenz des Randwerts \[ f(e^{i\theta})=\lim_{z\to e^{i\theta}} f(z), \] wenn \(z\) längs irgendeines, den Einheitskreis nicht berührenden Wegs gegen \(e^{i\theta}\) strebt. Ist überdies \(C\) eine obere Schranke von \(I_\lambda(r,f)\) in \(r<1\), so gilt \[ \int\limits_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^\lambda d\theta\leqq C. \]
Unter \(\varGamma\) werde eine einfachgeschlossene Kurve verstanden, die in \(|z|\leqq 1\) liegt, mit \(|z|=1\) nur den Punkt 1 gemein hat und in einer Umgebung des Punkts 1 ganz in einem Winkelraum \(|\operatorname{arc} (1-z)|\leqq \dfrac\pi2-\delta\) mit \(\delta>0\) verläuft. \(\varGamma_u\) entstehe aus \(\varGamma\) durch Drehung um \(z=0\) durch den Winkel \(u\), und \(\varOmega_u\) sei das Innere von \(\varGamma_u\). Endlich sei \[ s(u)=\Bigl(\iint\limits_{\varOmega_u}|f'(z)|^2dxdy\Bigr)^{\frac12}, \] also \(s^2(u)\) der Inhalt des durch \(w=f(z)\) vermittelten Bilds von \(\varOmega_u\). Das Hauptresultat des Verf. ist die folgende Verallgemeinerung eines Satzes von N. Lusin (Bull. Calcutta math. Soc. 20 (1930), 139-154; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 969):
Gehört \(f(z)\) für ein \(\lambda>0\) zur Klasse \(H^\lambda\), so ist \(s(u)\) für fast alle \(u\) endlich und gehört zur Klasse \(L^\lambda\). Überdies gilt \[ \left(\int\limits_0^{2\pi}s^\lambda(u)du\right)^{\tfrac1\lambda}\leqq A_{\lambda,\varGamma}\left(\int\limits_0^{2\pi} |f(e^{i\theta})|^\lambda d\theta\right)^{\tfrac1\lambda}, \tag{1} \] wo \(A_{\lambda,\varGamma}\) nur von \(\lambda\) und \(\varGamma\) abhängt.
Der Beweis stützt sich auf Resultate von Hardy, Littlewood und Paley. Dabei ist die Funktion \[ g(\theta)=\left(\int\limits_0^1(1-\varrho)|f'(\varrho e^{i\theta})|^2 d\varrho\right)^{\frac12} \] von Bedeutung. Verf. untersucht genauer die Beziehungen zwischen \(g(\theta)\) und \(s(u)\) für Funktionen \(f(z)\) aus einer Klasse \(H^\lambda\) mit \(\lambda >1\), für die \(f(0)=0\) ist. Er findet, daß keine Ungleichung \[ s(u)\leqq\alpha g(u) \] mit einer (möglicherweise von \(\varGamma\) abhängigen) Konstanten \(\alpha\) gilt, wohl aber unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß \(\varGamma\) die reelle Achse in 1 unter positivem Winkel trifft, eine Ungleichung \[ g(u)\leqq \beta s(u) \tag{2} \] mit nur von \(\varGamma\) abhängigem \(\beta\). Daraus folgt dann, daß für die in Rede stehenden Funktionen \(f(z)\) und Kurven \(\varGamma\) auch die Umkehrung von (1) gilt, d. h. es besteht die Ungleichung \[ \left(\int\limits_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^\lambda d\theta \right)^{\tfrac1\lambda}\leqq B_{\lambda,\varGamma} \left(\int\limits_0^{2\pi} s^\lambda(u)du\right)^{\tfrac1\lambda} \tag{3} \] mit einer nur von \(\lambda\) und \(\varGamma\) abhängigen Konstanten \(B_{\lambda,\varGamma}\).
II. In zwei weiteren Teilen der Arbeit werden Folgerungen aus dem Lusinschen Satz und den vorstehenden Resultaten (1)-(3) gezogen:
1) Es sei \(f(z)\) in \(|z|<1\) analytisch und \(E\) eine Punktmenge auf \(|z|=1\) von positivem Maß, für deren Elemente \(e^{iu}\) der Grenzwert \[ f(e^{iu})= \lim_{z\to e^{iu}} f(z) \] bei Annäherung von \(z\) an \(e^{iu}\) längs den Einheitskreis nicht berührender Wege existiert und endlich ist. Dann ist \(s(u)\) für fast alle Elemente \(e^{iu}\) von \(E\) endlich; dasselbe gilt für \(g(u)\).
2) Es seien \(r\), \(p\), \(q\) reelle Zahlen mit \(r>1\), \(1<p\leqq 2\leqq q\). Ferner sei \(F(\theta)\) eine mit \(2\pi\) periodische Funktion der Klasse \(L^r\) (deren Mittelwert über \(\langle 0, 2\pi\rangle\) verschwinde) und \(\varPhi(z)\) diejenige analytische Funktion, deren Realteil das Poisson-Integral von \(F(\theta)\) ist und die in \(z=0\) verschwindet. Setzt man dann \[ J_r(\theta,F) = \left(\int\limits_0^1 (1-\varrho)^{r-1}|\varPhi'(\varrho e^{i\theta})|^r d\varrho\right)^{\tfrac1r}, \] so gilt in Verallgemeinerung Littlewood-Paleyscher Ungleichungen (vgl. Proc. London math. Soc. 42 (1936), 52-89; F. d. M. \(63_{\text I}\), 214) \[ \left(\int\limits_0^{2\pi}J^r_q(\theta,F)d\theta\right)^{\tfrac1r}\leqq K_r \left(\int\limits_0^{2\pi}|F(\theta)|^r d\theta\right)^{\tfrac1r}, \quad \left(\int\limits_0^{2\pi}|F(\theta)|^r d\theta\right)^{\tfrac1r}\leqq L_r \left(\int\limits_0^{2\pi}J^r_p(\theta,F)d\theta\right)^{\tfrac1r}, \] wo \(K_r\) und \(L_r\) nur von \(r\) abhängen.

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