Über die Häufigkeit der Nichtzentren. (German) JFM 64.0289.02

Cremer, H.

Math. Ann. 115, 573-580 (1938).

In früheren Arbeiten (insbesondere Math. Ann. 98 (1927), 151-163; 110 (1935), 739-744; Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-phys. Kl. 84 (1932), 291-324; F. d. M. 53, 303; 61\(_{\text{I}}\), 328; 58\(_{\text{I}}\), 327) hat Verf. die Existenz gewisser Mengen von Werten \(\alpha _1\) mit \(|\alpha _1|=1\) nachgewiesen, derart, daß für gewisse Klassen von Funktionen, z. B. Polynome, mit Anfangskoeffizient \(\alpha _1\) \[ f(z)=\alpha _1z +\alpha _2z^2 +\cdots \] \(z=0\) kein Zentrum ist. Hier wird nun bei festem \(\alpha _1\) nach der Häufigkeit der Funktionen \(f(z)\) gefragt, für die \(z = 0\) kein Zentrum ist; ferner werden hinreichende Bedingungen angegeben dafür, daß es zu einem bestimmten \(\alpha _1\) ein \(f(z)\) gibt, für das \(z=0\) Nichtzentrum ist.
Ist \(\alpha _1\) ein Wert, für den kein Polynom \(f(z)\) ein Zentrum besitzt, so kann jede Potenzreihe \[ \sum _{\varkappa =1}^\infty \alpha _\varkappa z^\varkappa\tag{\(^*\)} \] durch passende Abänderung der Argumente der \(\alpha _\varkappa \) mit \(\varkappa >k\) (\(k\) beliebig, fest) zu einer Funktion gemacht werden, für die \(z = 0\) Nichtzentrum ist, und die Menge der so aus einer bestimmten Reihe \((^*)\) gewonnenen derartigen Funktionen besitzt die Mächtigkeit des Kontinuums, und zwar auch dann, wenn die Faktoren \(\varepsilon _\varkappa \), mit denen die \(\alpha _\varkappa \) multipliziert werden, auf eine abzählbare, auf dem Einheitskreis überall dichte Menge beschränkt sind.
Das wird durch den Nachweis der Divergenz der formalen Reihe für die Lösung \(S (z)\) der Schröderschen Funktionalgleichung \[ S\bigl(f(z)\bigr)=\alpha _1 S(z) \] gezeigt.
Auf demselben Wege wird z. B. bewiesen, daß es zu jedem \(\alpha _1\) mit \[ \lim \,\inf \, \Bigl|\,\root n \of {\alpha _1^n-1}\,\Bigr|=0 \] Funktionen, unter anderem auch ganze transzendente, mit Nichtzentren gibt.

Reviewer: Grunsky, H., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. E. Sonstige Folgen und Darstellungen.

References:

[1]	Zuerst bei G. Koenigs, Recherches sur les équations fonctionnelles, Annales de l’École normale (3)1 (1884) Supplément.
[2]	Trans. Amer. Math. Soc.18 (1917), S. 189; vgl. auch Math. Annalen98, S. 153, Fußnote9), wo der genannte Satz im Wortlaut abgedruckt ist.
[3]	A. Hurwitz und G. Pólya, Acta Math.40, S. 179. Die Analogie besteht nur zwischen den Sätzen, nicht zwischen den Beweisen.
[4]	Diese Einschränkung ist nicht wesentlich. Vgl. Fußnote5).
[5]	Es gibt dann eine (eine Umgebung des Nullpunktes erfüllende) Schar von geschlossenen analytischen Kurven, die durchf(z) einzeln in sich übergeführt werden.
[6]	G. Julia, Journ. de Math. (8)1 (1918), S. 239ff.
[7]	Bezüglich der Zusammenhänge des Zentrumproblems mit der Uniformisierungstheorie und der Interationstheorie vgl. die Arbeit des Verf. in den Berichten der Math.-Phys. Klasse der Sächsischen Akademie Leipzig84 (1933), S. 291-324, die auch ausführliche Literaturangaben enthält. Bezüglich Überkonvergenz siehe Math. Annalen110 (1935), S. 739.
[8]	Berichte Math.-Phys. Kl. Sächs. Akad. Leipzig84 (1933), S. 300.
[9]	Berichte Math.-Phys. Kl. Sächs. Akad. Leipzig82 (1930), S. 246.