Sur une équation fonctionnelle et certaines suites de facteurs. (French) JFM 64.0300.04

Valiron, G.

J. Math. pur. appl. (9) 17, 405-425 (1938).

Ist eine ganze transzendente Funktion \(f (z)\) ( \(f(0) = 1\)) durch ihre Taylorsche Reihe \[ f(z) = 1 + \sum _1^\infty c_nz^n\tag{1} \] gegeben, wobei noch \(c_n \geqq 0\) vorausgesetzt wird, so bezeichnet man mit \(f (\sigma,z)\) (\(|\sigma |=1\)) die Reihe \[ f(\sigma,z) = 1 + \sum _1^\infty \sigma ^{n^\lambda }\,c_nz^n,\tag{2} \] wobei \(\lambda \) ganz positiv und arg\(\,\sigma =\alpha\pi \) mit einem irrationalen \(\alpha \) ist. Im allgemeinen besitzt die Reihe (2) jede Richtung als Borelsche Richtung, die Multiplikation der \(c_n\) mit \(\sigma ^{n^\lambda }\) bewirkt also eine Verstreuung der \(a\)-Stellen von (1) auf der ganzen Ebene. Diese letzte Eigenschaft wird teilweise in einem ersten Teil der Arbeit behandelt, und zwar in Zusammenhang mit allgemeineren Fragen. Es bleibt dabei bei dem Fall \(\lambda = 2\), der zu interessanten Funktionalgleichungen führt, von denen die einfachste die Form \[ f'(z)= f(\sigma,z)\tag{3} \] besitzt und deren Lösung \(E(z,\sigma )\) man kennt. Es werden hauptsächlich ganze transszendente Funktionen von endlicher und nullter Ordnung in Betracht gezogen und dabei die Auswirkung der Transformation \(c_n\to\sigma ^{n^2}\,c_n\) in (1) auf die Verteilung der \(a\)-Stellen und die Borelschen Richtungen untersucht. Die Betrachtung von Funktionen unendlicher Ordnung führt auf folgendes allgemeine Problem, nämlich alle ganzen transszendenten Funktionen zu bestimmen, welche die Beziehung \[ M(r,f) = M(r,f^{(n)})\tag{4} \] erfüllen. Dabei ist \(M (r,f)= \max _{|z|=r}\,|f(z)|\), und rechts steht der analoge Ausdruck für die \(n\)-te Ableitung. Es wird gezeigt, daß man die Lösungen von (4) durch die Lösung \(E(z,\sigma )\) von (3) und einige andere elementare Funktionen ausdrücken kann. Im Anschluß daran werden noch einige Eigenschaften der Lösungen von (4) besprochen sowie die Eigenschaften der ihnen angehörenden Borelschen und Mittag-Lefflerschen assoziierten Reihen, welche ihren Konvergenzkreis als natürliche Grenze besitzen. Der letzte Teil bringt eine nähere Untersuchung der im Anfang des Referates erwähnten Eigenschaft, wonach die Transformation \(c_n\to \sigma ^{n^2}\,c_n\) die Borelschen Richtungen von (1) auf der ganzen Ebene verstreut. Es wird unter anderem gezeigt, daß diese letzte Transformation (unter gewissen arithmetischen Annahmen über arg \(\sigma \)) die Borelschen Richtungen der Mittag-Lefflerschen und einiger anderer verwandter Funktionen verstreut in dem Sinne, daß die Transformierten dieser Funktionen jede Richtung als Borelsche Richtung besitzen.

Reviewer: Dinghas, A., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. F. Ganze und meromorphe Funktionen sowie Verwandtes.