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Leçons sur les principes topologiques de la théorie des fonctions analytiques. Professées à la Sorbonne et à l’université de Cernauti. (French) JFM 64.0309.01

X + 148 p. Paris, Gauthier-Villars (Collection de monographies sur la théorie des fonctions) (1938).
Die Ausführungen des Bändchens gruppieren sich um drei Fragen:
1) Wie sind die Riemannschen Flächen innerhalb der Gesamtheit der zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten topologisch gekennzeichnet?
2) Welches sind die verschiedenen topologischen Typen Riemannscher Flächen?
3) Wie sind die durch die analytischen Funktionen gegebenen Abbildungen topologisch gekennzeichnet ?
Kap. I entwickelt die allgemeinen topologischen Grundlagen: Begriff des topologischen Raumes nach Fréchet (Zuordnung der Ableitung zu jeder Teilmenge) und weitere Grundbegriffe; in die Definition der Mannigfaltigkeit wird dabei kein Abzählbarkeitsaxiom aufgenommen; es folgt der Beweis des Brouwerschen Satzes von der Invarianz des inneren Punktes nach Lebesgue-Sperner.
Kap. II entwickelt den Begriff der Riemannschen Fläche ausgehend von dem allgemeinen Begriff des Überlagerungsraumes : Sind \(V\) und \(V_0\) zwei topologische Räume mit den Punkten \(p\) und \(p_0\), und ist \(p_0= f (p)\) eine stetige Abbildung von \(V\) auf \(V_0\), so bilden die Paare \((p, f (p))\) einen Überlagerungsraum \((V_0)_f^V\) über \(V_0\), der durch die Vorschrift, zu \(V\) homöomorph zu sein, zum topologischen Raum wird. Sind \(V_0\) und \(V\) zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, so ist \((V_0)_f^V\) eine Riemannsche Überlagerungsmannigfaltigkeit, wenn \(f (p)\) stückweise topologisch einer Potenztransformation äquivalent ist, d. h., wenn sich \(V\) so mit abzählbar vielen abgeschlossenen und kompakten Teilbereichen \(\delta_i\) überdecken läßt, daß \(f (p)\) durch topologische Abbildungen der \(\delta_i\) und der \(f(\delta_i)\), \(\xi=h^i(p)\), \(\zeta=h_0^i(p)\), in Einheitskreise \(|\xi|\leqq1\), \(|\zeta|\leqq1\) in Potenztransformationen übergeht: \[ \zeta=h_0^i[f(h^i(\xi)^{-1})]=\xi^{ni}. \] Eine Riemannsche Fläche liegt vor, wenn \(V_0\) die Riemannsche Zahlenkugel ist. Es folgt der Beweis für das umkehrbar eindeutige Entsprechen der Riemannschen Flächen und der analytischen Gebilde in engem Anschluß an ältere Darstellungen von Weyl und Fatou.
Kap. III gibt nun Antwort auf die Frage 1) durch den Beweis des Satzes, daß die Riemannschen Flächen die triangulierbaren orientierbaren zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten sind. Zur Verdeutlichung dienen Beispiele nicht orientierbarer Flächen sowie ein von Prüfer stammendes Beispiel einer nicht triangulierbaren zweidimensionalen Mannigfaltigkeit (in der Formel Zeile 11 v. u. S. 72 findet sich ein störender Druckfehler: es muß \(\eta (X - z) - Y(\xi - z) = 0\) heißen, nicht \(\eta X - Y (\xi - z)= 0)\).
Kap. IV ist der Frage 2) gewidmet. Es wird zuerst die geläufige Einteilung der geschlossenen Flächen nach dem Geschlecht behandelt. Für die Erledigung der Frage bei den offenen Flächen (nach Kérékjárto) ist der Begriff des Randelementes wesentlich. Die Menge der Randelemente einer Fläche wird durch Erklärung der “Häufungsrandelemente” einer beliebigen Teilmenge zu einem topologischen Raum gemacht, und außerdem wird zwischen zwei Arten von Randelementen unterschieden. Mit diesen Begriffen, deren Erklärung im einzelnen hier zu weit führen würde, läßt sich der fragliche Satz so aussprechen: Zwei offene Riemannschen Flächen sind dann und nur dann homöomorph, wenn sie von gleichem Geschlecht sind und wenn sich zwischen den Mengen der Randelemente eine Homöomorphie erklären läßt, bei der sich die Elemente erster Art entsprechen.
Kap. V bezieht sich auf die Frage 3), also auf die Frage: Welche Klassen von Abbildungen erhält man aus allen analytischen Funktionen, wenn man in einer solchen, \(f (z)\), die auf der Riemannschen Fläche \(R\) erklärt sei und die diese auf die Zahlenkugel \(S\) abbildet, sowohl \(R\) als \(S\) je einer topologischen Abbildung unterwirft. Es stellt sich heraus, daß dies die vom Verf. eingeführte Klasse der “inneren Transformationen” ist, die unter den stetigen Transformationen ausgezeichnet sind durch die beiden Eigenschaften, daß sie offene Mengen in ebensolche überführen und kein Kontinuum in einen einzelnen Punkt. Dabei ergibt sich eine weitere einfache Charakterisierung der Riemannschen Flächen: Sie sind diejenigen Überlagerungsmannigfaltigkeiten der Zahlenkugel, bei denen die zu ihrer Definition dienende Abbildung \(f(p)\) eine innere Transformation ist.
Kap. VI ist einigen interessanten Einzelfragen ohne größere Bedeutung für den systematischen Aufbau gewidmet. Man findet einen Satz, der bekannte funktionentheoretische Sätze über die Hebbarkeit gewisser Singularitätenmengen auf innere Transformationen verallgemeinert. Ferner werden innere Abbildungen einer Riemannschen Fläche \(R\) auf eine andere, \(S\), betrachtet. Eine solche heißt eine totale Überdeckung von \(S\) durch \(R\), wenn jede Punktfolge aus \(R\), die keine kompakte Teilfolge enthält (die “gegen den Rand strebt”) in eine ebensolche übergeht. Die Überdeckung ist dann auch vollständig, h. h. jeder Punkt von S wird überdeckt, und außerdem auch jeder gleich oft. Sind die Zusammenhangszahlen \(c\) und \(c'\) von \(S\) bzw. \(R\) endlich, so ist eine solche Abbildung umkehrbar eindeutig, wenn es mehr als \(c - 2c' + 2\) Punkte \(A\) auf \(S\) gibt, für die das Urbild in \(R\) nur aus einem einzigen Punkt besteht. Es ergibt sich weiter eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Formel für das Geschlecht einer Überlagerungsfläche bei nicht totaler Überlagerung. Endlich werden kurz einige Sätze gebracht, die sich um die Begriffe Zielwerte (asymptotische Werte) und Ausnahmewerte gruppieren, auf die Verf. früher ausführlicher eingegangen war (Ann. Inst. Henri Poincaré 2 (1932), 233-266; F. d. M. \(58_{\text{II}}\), 1090). (V 2.)
Besprechungen: A. Buhl; Enseign. math. 37 (1938), 95-96, F. Marty; Bull. Sci. math. (2) 62 (1938), 65-67. H.Whitney; Bull. Amer. math. Soc. 44 (1938), 758-759.