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Untersuchungen über konforme und quasikonforme Abbildung. (German) JFM 64.0313.06
1) Jedes Ringgebiet \(G\) (zweifach zusammenhängendes Gebiet, das von zwei Kontinuen begrenzt wird) läßt sich konform in einen Kreisring \(r<|z|<R\) abbilden. \(M = \log\dfrac Rr\) heißt der Modul von \(G\); er ist die konforme Invariante von \(G\). Der Modul gestattet eine Abschätzung durch den logarithmischen Flächeninhalt: \[ 2\pi M\leqq F={\iint\limits_G}\boxed{d\log z}\,, \] \(\boxed{d\log z}\) Flächenelement. Aus dieser Beziehung ergibt sich zunächst die Monotonie des Moduls: \(G'\) mit dem Modul \(M'\) sei Teil von \(G\) mit dem Modul \(M\) (\(G\), \(G'\) Ringgebiete) und trenne die Komplementärkontinuen von \(G\); dann ist \(M'\leqq M\), Gleichheit bei \(G\equiv G'\). \(G\) sei jetzt ein einfach zusammenhängendes von der punktierten Ebene verschiedenes Gebiet, das \(z= 0\), nicht aber \(z = \infty\) enthält. Das Ringgebiet \(G_\varrho\), d. i. der Durchschnitt von \(G\) mit \(| z| > \varrho\), \(\varrho\) hinreichend klein gewählt, besitzt einen Modul \(M_\varrho\). Bedeutet \(R\) den Abbildungsradius von \(G\), so wird für den reduzierten Modul \(\widetilde{M} = \log R\) von \(G\) gezeigt: \(\widetilde{M} =\log R = \lim\limits_{\varrho\to0} (M_\varrho + \log\varrho)\). Bedeutet \(F_\varrho\) den logarithmischen Flächeninhalt von \(G_\varrho\), dann besteht zwischen dem reduzierten Modul und dem reduzierten logarithmischen Flächeninhalt \(\widetilde{F} = F_\varrho + 2\pi \log\varrho\) die Beziehung \(2\pi \widetilde{M}\leqq \widetilde{F}\). Folgerung: \(G'\) und \(G''\) seien punktfremde einfach zusammenhängende Gebiete, und \(G'\) enthalte \(z= 0\), \(G''\, z = \infty\) ; die zugehörigen reduzierten Moduln \(M'\) und \(M''\) genügen der Beziehung \(M' + M''\leqq0\), Gleichheit nur für \(G'\): \(|z|<R\) und \(G''\): \(|z|> R\).
2) Das zweite Kapitel bringt Sätze über die Verzerrung von Ringgebieten bei konformer Abbildung; Problem des nächsten Randpunktes, Problem des nächsten und weitesten Randpunktes.
3) Ein einfach zusammenhängendes Gebiet \(G\), bei dem vier verschiedene erreichbare Randpunkte als Ecken ausgezeichnet sind, wird auf ein Rechteck so abgebildet, daß die ausgezeichneten Punkte in die Ecken des Rechtecks übergehen. Das Verhältnis der Seiten dieses Rechtecks wird als Modul des “Vierecks” \(G\) bezeichnet. Dieser Modul wird wieder durch geometrische Größen abgeschätzt. Die bisherigen Ergebnisse über die Modulgrößen von Vierecken und Ringgebieten gestatten nun, den Ahlforsschen Randverzerrungssatz ohne Differentialungleichung in schärferer Form zu beweisen. Die Aufgabe wird zurückgeführt auf ein Problem über Ringgebiete.
4) In dem Kreisring \(G\) : \(r < | z | < R\) liegen zwei fremde Ringgebiete \(G'\) und \(G''\), die beide \(z=0\) von \(z=\infty\) trennen. Für die zugeordneten Moduln \(M'\) und \(M''\) gilt \(M' + M''\leqq M\). Darüber hinaus wird nun der wichtige Modulsatz bewiesen: Zu jedem \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\delta > 0\), so daß unter bestimmten Voraussetzungen aus \(M' + M''\geqq M-\delta\) folgt, daß jeder durch \(G'\) von 0 und durch \(G''\) von \(\infty\) getrennte Punkt dem Kreisring \(\log r + M' - \varepsilon\leqq\log | z |\leqq\log R - M'' + \varepsilon\) angehört. Zum Beweise wird zunächst der spezielle Modulsatz, der sich auf einfach zusammenhängende Gebiete \(G'\), \(G''\) und ihre reduzierten Moduln \(M'\), \(M''\) bezieht, hergeleitet. Daraus wird dann der Modulsatz in der angegebenen Form abgeleitet. Die Extremalgebiete und -abbildungen werden bestimmt.
5) \(\mathfrak M\) sei eine Menge reeller Zahlen, die sich gegen \(+ \infty\) häufen. Jedem \(\lambda\) aus \(\mathfrak M\) entspreche eine einfache geschlossene im Endlichen gelegene stetige Kurve \(\mathfrak C_\lambda\), die \(z = 0\) umschlingt. Bei \(\lambda < \mu\) soll \(\mathfrak C_\mu\) immer \(\mathfrak C_\lambda\) von \(z = \infty\) trennen; \(\mathfrak C_\lambda\) und \(\mathfrak C_\mu\) sind punktfremd. Für \(\lambda\to\infty\) ziehen sich die \(\mathfrak C_\lambda\) auf den Punkt \(z=\infty\) zusammen. Probleme der konformen Abbildung und Uniformisierung geben zu folgender Fragestellung Anlaß: Unter welchen Voraussetzungen über den Modul \(M (\lambda,\mu)\) kann man schließen, daß die Kurven \(\mathfrak C_\lambda\) für \(\lambda\to\infty\) nahezu kreisförmig werden; d. h. was hat man über \(M(\lambda,\mu)\) vorauszusetzen, damit bei \(r_1(\lambda) = \operatornamewithlimits{Min}\limits_{\mathfrak C_\lambda}|z|\), \(r_2(\lambda) = \operatornamewithlimits{Max}\limits_{\mathfrak C_\lambda}|z|\), \(\omega(\lambda) = \log \dfrac{r_2(\lambda)}{r_1(\lambda)}\) auf \(\lim\limits_{\lambda\to\infty}\omega(\lambda) = 0\) geschlossen werden kann? Mit Hilfe des Modulsatzes wird eine notwendige und hinreichende Bedingung für \(M(\lambda,\mu)\) hergeleitet. Die Betrachtungen werden durch einige für verschiedene Fragen wichtige Fehlerabschätzungen ergänzt.
6) Quasikonforme Abbildungen und Verhalten der Modulgröße bei solchen Abbildungen. U. a. wird der wichtige Satz bewiesen: Die punktierte \(z\)-Ebene werde auf die punktierte \(w\)-Ebene quasikonform durch eine Funktion \(w = w (z)\) abgebildet, für deren Dilatationsquotient \(D = D_{z|w}\) eine Abschätzung \(D\leqq C(|z|)\) gilt, wo \(C(|z|)\) noch der zusätzlichen Bedingung: \({\int\limits^{\infty}}(C(r) - 1)\dfrac{dr}r\) konvergiert genügt. Dann gibt es eine Konstante \(\gamma > 0\) mit \(|w|\sim\gamma|z|\).
Im letzten Kapitel wird für eine spezielle Flächenklasse ein hinreichendes Kriterium für das Eintreffen des Grenzkreisfalles bewiesen. Mittels dieses Kriteriums läßt sich eine von R. Nevanlinna gestellte Frage beantworten.

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