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Konvergente Folgen von Regularitätsbereichen und die Meromorphiekonvexität. (German) JFM 64.0322.03
Im Raume von \(n\) komplexen Veränderlichen sei eine Folge von (schlichten, beschränkten) Bereichen \(B_k\) gegeben, die gegen einen Bereich \(B\) konvergieren. Unter welchen Bedingungen konvergieren dann die Regularitätshüllen \(H(B_k)\) gegen die Hülle \(H (B)\)? Man braucht diese Frage nur zu entscheiden für die beiden ausgezeichneten Fälle der “Approximation von Außen” (\(B_{k+1}\ll B_k\)) und der “Approximation von Innen” (\(B_{k+1}\gg B_k\)). Es war bisher lediglich bekannt, daß für Folgen der ersten Art nicht notwendig \(\lim H (B_k) = H (B)\) ist, sondern daß \(B\) unter Umständen eine “Nebenhülle” besitzen kann (vgl. Behnke-Thullen, Ergebn. Math. Grenzgeb. 3, Nr. 3 (1934); F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 274). Für Folgen der zweiten Art reduziert sich das Problem auf die Frage, ob der Grenzbereich einer konvergenten Folge von Regularitätsbereichen \(R_k\) mit \(R_{k+1}\gg R_k\) stets selbst ein Regularitätsbereich ist. Diese bisher noch unentschiedene Frage können die Verf. mit Hilfe eines von K.Oka (J. Sci. Hiroshima Univ. A 7 (1937), 115-130; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 307) herrührenden Theorems im positiven Sinne beantworten. Es gilt also:
Hat der Bereich \(B\) keine Nebenhülle, so gilt für jede Folge \(B_k\) mit \(\lim B_k = B\) auch \(\lim H (B_k) = H (B)\). Ferner kann man jetzt den Satz aussprechen, daß jeder Grenzbereich einer Folge von Regularitätsbereichen selbst ein Regularitätsbereich ist. Schließlich folgt noch das interessante Ergebnis, daß jeder meromorph-konvexe Bereich bereits Regularitätsbereich ist.
Die C.-R.-Note enthält die Ankündigung der Ergebnisse, die Annalen-Arbeit die Beweise.

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Full Text: DOI EuDML
References:
[1] Vgl. H. Behnke und P. Thullen, Das Konvergenzproblem der Regularitätshüllen, Math. Annalen108, S. 93.
[2] Kiyosi Oka, I. Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles, (A)6, Nr. 3 (1936). II. Domaines d’holomorphie, (A)7, Nr. 2 (1937). Beides: Journal of Science of the Hirosima University. · Zbl 0015.30903
[3] Der grundlegende Begriff der Konvexität in bezug auf Mengen von Funktionen ist zuerst von H. Cartan in seiner Arbeit: Sur les domaines d’existence des fonctions de plusieurs variables complexes, Bull. Soc. Math. France59 (1931), eingeführt worden. Im übrigen vergleiche man zu den hier und im folgenden auftretenden nicht neu definierten Begriffen H. Behnke und P. Thullen, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen (Abgekürzt B.-Th. Bericht), Erg. d. Math. u. i. Grenzgeb. III, 3.
[4] Bei der ersten Korrektur sind die Sätze dieses Abschnittes von 2 aufN Veränderliche verallgemeinert und dazu die Beweise umgestellt worden. Die Möglichkeit der Verallgemeinerung ergab sich in einer ausführlichen Diskussion mit Herrn Henri Cartan gelegentlich eines Vortragsbesuchs im Mai 1938 in Münster. Wir sind Herrn Cartan für das rege Interesse, das er dieser Arbeit entgegengebracht hat, sehr dankbar.
[5] Siehe 1) Vgl. H. Behnke und P. Thullen, Das Konvergenzproblem der Regularitätshüllen, Math. Annalen108, S. 93., Satz9, S. 303. · JFM 59.0340.02
[6] Siehe 2) Kiyosi Oka, I. Domaines convexes par rapport aux fonctions rationnelles, (A)6, Nr. 3 (1936). II. Domaines d’holomorphie, (A)7, Nr. 2 (1937). Beides: Journal of Science of the Hirosima University. sowie A. Weil, Sur les séries de polynomes de deux variables complexes, C. R.194 (1932), S. 1304 L’intégrale de Cauchy et les fonctions de plusieurs variables, Math. Annalen111 (1935), S. 178.
[7] Siehe B.-Th. Bericht, Kap. 6, § 1, S. 72.
[8] Vgl. 7). Siehe B.-Th. Bericht, Kap. 6 § 1, S. 72.
[9] Vgl. 1) H. Behnke und P. Thullen, Das Konvergenzproblem der Regularitätshüllen, Math. Annalen108, S. 93.
[10] Vgl. hierzu H. Behnke und E. Peschl, Die Konvexitat in der Elementargeometrie und in projektiven Räumen, Semesterberichte zur Pflege des Zusammenhangs von Universität und Schule, Münster, Heft 5 (1934). · JFM 60.0674.02
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