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Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse. (Italian) JFM 64.0322.04

In Erweiterung der Ergebnisse von W. Wirtinger (Mh. Math. Phys. 45 (1937), 418-431; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 308) werden die folgenden drei Theoreme bewiesen:
1) \(\mathfrak B\) sei ein \(2n\)-dimensionaler Bereich, darin \(V_{n+l}\) (\(l\) irgendeine der Zahlen 0, 1, 2,…, \(n - 1\)) eine \((n + l)\)-dimensionale, zweiseitige, nullhomologe geschlossene Mannigfaltigkeit. Dann gilt für jede in \(\mathfrak B\) reguläre Funktion \(f(z_1,\dots,z_n)\): \[ {\int\limits_{V_{n+l}}}f(z_1,\dots,z_n)\,dz_1\,dz_2\ldots dz_n\, d\overline{z}_{\alpha_1}\,d\overline{z}_{\alpha_2}\ldots d\overline{z}_{\alpha_l}=0, \] wo \((\alpha_1, \alpha_2,\dots,\alpha_l)\) eine beliebige Kombination von \(l\) verschiedenen Zahlen aus der Zahlenreihe 1 bis \(n\) bedeutet.
2) Ist \(f(z_1,z_2,\dots, z_n)\) in \(\mathfrak B\) stetig und verschwinden diese Integrale bei irgend einem der \(l\) und beliebiger Kombination \(\alpha_1\),…, \(\alpha_l\) für jedes \(V_{n+l}\), so ist \(f\) in \(\mathfrak B\) regulär.
3) Ist \(f\) in \(\mathfrak B\) regulär, so gilt für jede \(V_{2n-1}\) in \(\mathfrak B\), die den Nullpunkt umschließt: \[ f(0,\dots,0)=\frac{(n-1)!}{(2\pi i)^n}\int\limits_{V_{2n-1}}\frac {f\cdot{\sum\limits_{\alpha=1}^{\infty}}(-1)^{\alpha-1}\cdot \overline{z}_{\alpha}\cdot dz_1\cdots dz_n\cdot d\overline{z}_1\cdots d\overline{z}_{\alpha-1}\cdot d\overline{z}_{\alpha+1}\cdots d\overline{z}_n} {(z_1\overline{z}_1+z_2\overline{z}_2+\cdots+z_n\overline{z}_n)^n}. \]

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