Sur le premier problème de Cousin. (French) JFM 64.0323.01

Cartan, H.

C. R. Acad. Sci., Paris, 207, 558-560 (1938).

Die Cousinsche Übertragung des Mittag-Lefflerschen Satzes auf Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen ist nach einem früher von H. Cartan bewiesenen Satz (C. R. Acad. Sci., Paris, 199 (1934), 1284-1287; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 1023) höchstens richtig für Bereiche, die zugleich Regularitätsbereiche sind. Verf. zeigt nun an einem Beispiel, daß dieser Satz im Raume von drei und mehr komplexen Veränderlichen nicht mehr gilt. Er beweist, daß es im punktierten Trizylinder \[ |z_1| < 1,\;|z_2| < 1,\;|z_3| < 1,\;|z_1| +|z_2|+|z_3|>0 \tag{\(\varDelta\)} \] zu jeder zulässigen Verteilung von meromorphen Ortsfunktionen \(f_{P_n}(z_1, z_2, z_3)\) eine in ganz (\(\varDelta\)) meromorphe Lösungsfunktion im Sinne von Cousin gibt.
Dagegen ist nach K. Oka die Bedingung, daß ein Bereich \(\mathfrak B\) Regularitätsbereich ist, im Raume von \(n\) komplexen Veränderlichen (\(n\) beliebig) stets hinreichend für die Existenz einer Lösungsfunktion zu jeder in \(\mathfrak B\) vorgegebenen Cousinschen Verteilung von meromorphen Ortsfunktionen (J. Sci. Hirosima Univ. A. 7 (1937), 115-130; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 307).

Reviewer: Stein, K., Dr. (Hamm in Westfalen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 5. Theorie der Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen und von hyperkomplexen Veränderlichen.