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Généralisation des fonctions abéliennes. (French) JFM 64.0361.02
Die Arbeit will den Grund legen zu einer Theorie, aus der sich die Abelschen Funktionen als Sonderfall ergeben, wenn man an entscheidender Stelle die Forderung der Kommutativität erhebt. Sei \(k\) ein Körper algebraischer Funktionen einer Veränderlichen vom Geschlecht \(p\) und \(\mathfrak r\) seine Riemannsche Fläche. Auf \(\mathfrak r\) wird eine Signatur gegeben, d. h. jedem Punkt \(P\) von \(\mathfrak r\) wird eine natürliche Zahl \(n(P)\) zugeordnet, die jedoch nur für endlich viele Punkte von 1 verschieden ist. Ist \(t_P\) Ortsuniformisierende in \(P\), so wird \(\tau_P = t_P^{\frac1n}\) gesetzt. Betrachtet wird außer \(k\) noch der Körper \(K\) der auf \(\mathfrak r\) nur algebraisch singulären und an jeder Stelle in \(\tau_P\) meromorphen Funktionen. Die zu diesen gehörige Riemannsche Fläche heiße \(\mathfrak R\). Ferner sei \(k_P\) bzw. \(K_P\) der Körper der im Nullpunkt meromorphen Funktionen von \(t_P\) bzw. \(\tau_P\). Der Index \(\varrho\) einer Matrix aus \(K_P\) mit nicht identisch verschwindender Determinante ist dadurch definiert, daß die Entwicklung der Determinante nach (im allgemeinen gebrochenen) Potenzen von \(t\) mit \(t^\varrho\) beginnt. Sei \(\varTheta\) eine Matrix aus \(K_P\) mit nicht identisch verschwindender Determinante und durchlaufe \(U\) alle für \(\tau = 0\) regulären Matrizen aus \(K_P\), deren Determinante für \(\tau = 0\) nicht verschwindet; dann heißt die Gesamtheit der Matrizen \(U\varTheta\) ein örtlicher Divisor in \(P\), sofern diese Gesamtheit bei Fortsetzung rund um \(P\) in sich übergeht. Man kann die Matrix \(\varTheta\) so wählen, daß sie bei Fortsetzung rund um \(P\) in \(D\varTheta\) übergeht, worin \(D\) eine Diagonalmatrix aus \(n\)-ten Einheitswurzeln ist: \(D = (\zeta^{d_1},\ldots, \zeta^{d_r})\) (\(\zeta = e^{2\pi i/n}\), \(0\leqq d_1\leqq\cdots\leqq d_r\leqq n-1\)); diese heißen die charakteristischen Wurzeln von \(\varTheta\) in \(P\). Ein Divisor auf \(\mathfrak r\) entsteht, wenn jedem Punkt ein Divisor zugeordnet wird, jedoch nur endlich vielen ein vom Einheitsdivisor verschiedener. Mit diesen Begriffen spricht sich die hier geltende Erweiterung des Riemann-Rochschen Satzes folgendermaßen aus:
Seien \(\varTheta\) und \(\varTheta'\) zwei Divisoren von \(r\) bzw. \(r'\) Reihen. Dann gibt es \[ N = r'I(\varTheta) - rI(\varTheta') - rr'(p - 1) - \sum_P \sum_{i,\,j} \left\langle\frac{d_i-d_j^\prime}n\right\rangle +\sigma \] linear unabhängige Matrizen \(\varPhi\) mit \(r\) Zeilen und \(r'\) Spalten aus \(k\), für die \(\varTheta\varPhi\varTheta'{}^{-1}\) überall endlich ist. Darin sind \(I(\varTheta)\) und \(I(\varTheta')\) die Summen der Indizes von \(\varTheta\) bzw. \(\varTheta'\) in allen Punkten von \(\mathfrak r\), \(\zeta^{d_i}\) bzw. \(\zeta^{d'_j}\) ihre charakteristischen Wurzeln, \(\langle x\rangle=x-[x]\) der Bruchanteil von \(x\), und \(\sigma\) ist die Anzahl der linear unabhängigen Differentialmatrizen \(dU\) aus \(k\) mit \(r'\) Zeilen und \(r\) Spalten derart, daß \(\varTheta'\cdot\dfrac{dU}{d\tau}\cdot\varTheta^{-1}\) in jedem Punkte endlich ist.
Der Satz wird ergänzt durch den “nicht homogenen” Riemann-Rochschen Satz:
Ist zu jedem Punkte \(P\) eine Matrix \(H\) aus \(k_P\) gegeben, die aber nur bei endlich vielen Punkten von Null verschieden ist, so gibt es dann und nur dann eine Matrix \(\varPhi\) aus \(k\) derart, daß \(\varTheta(\varPhi H)\varTheta'{}^{-1}\) in jedem Punkte endlich ist, wenn \[ \sum_P \oint\limits_P \text{Spur}\, (HdU) = 0 \] ist für alle die oben genannten Differentialmatrizen \(dU\).
Mit diesen Mitteln werden die Darstellungen der Monodromiegruppe von \(\mathfrak R\) über \(\mathfrak r\) untersucht. Sei \(S\) ein Weg auf \(\mathfrak r\), \(\mathfrak M_S\) die ihm in der Darstellung \(\mathfrak M\) zugewiesene Matrix und \(M^S\) das, was aus einer Matrix \(M\) aus \(K\) bei Fortsetzung längs \(S\) wird. Zwei Darstellungen \(\mathfrak M\) und \(\mathfrak M'\) gleichen Grades heißen äquivalent, wenn mit einer Matrix \(M\) aus \(K\) mit nicht identisch verschwindender Determinante \(M^S = \mathfrak M_SM\mathfrak M'{}_S^{-1}\) gilt für jeden Weg \(S\). Ist nun \(\mathfrak M\) durch eine Matrix \(\varTheta\) aus \(K\) verwirklicht in dem Sinne, daß \(\varTheta^S = \mathfrak M_S\varTheta\) ist – daß das bei jeder Darstellung geht, wird mit Uniformisierung und Poincaréschen Reihen bewiesen –, so ist damit der Divisor \(\varTheta\) bis auf Äquivalenz bestimmt, wenn äquivalent solche Divisoren heißen, die auseinander durch Rechtsmultiplikation mit Matrizen aus \(k\) hervorgehen. Äquivalente Darstellungen bestimmen dieselbe Klasse äquivalenter Divisoren. Es wird genau festgestellt, welchen Divisorenklassen Darstellungsklassen entsprechen, und von wie vielen willkürlichen Größen die Darstellungen einer Klasse abhängen. In den Divisoren hat man ein algebraischer Behandlung zugängliches Mittel zur Untersuchung der Darstellungen der Monodromiegruppe.
Im Schlußabschnitt weist der Verf. hin auf diejenigen meromorphen Funktionen der Koeffizienten einer Darstellung, die in jeder Darstellungsklasse konstant sind. Sie bilden einen Körper algebraischer Funktionen, dessen Veränderlichenzahl ermittelt wird. Bei Darstellungen ersten Grades und Signatur 1 überall hat man die Abelschen Funktionen. Schließlich skizziert er einen rein algebraischen Weg zur Bestimmung eines Oberkörpers von \(k\) mit gegebener Verzweigung und Galoisscher Gruppe. (III 5 B, IV 4 H.)

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