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On the iteration of linear operators in a Hilbert space. (English) JFM 64.0380.01

Verf. beweist folgenden Satz:
Ist \(A\) ein linearer Operator des (nicht notwendig separablen) Hilbertschen Raumes \(\mathfrak H\) und sind die Operatoren \(A^n\) (\(n= 1, 2,\ldots\)) gleichmäßig beschränkt, d. h. gibt es eine reelle Zahl \(M\) so, daß \[ |A^nx|\leqq M|x| \qquad (n =1,2,\ldots) \] (\(x\) = Element von \(\mathfrak H\), \(|x| =\) Norm von \(x\)) gilt, so gibt es einen beschränkten linearen Operator \(L\) derart, daß \[ \frac1n(Ax + A^2x +\cdots+ A^nx)\to Lx \] für jedes \(x\in\mathfrak H\) und \(n\to\infty\) im Sinne der schwachen Konvergenz gilt.
Ist \(A\) isometrisch \(((Ax, Ay) = (x, y))\), oder ist \(A\) symmetrisch \(((Ax, y) = (x, Ay))\) und sind die \(A^n\) (\(n=1, 2,\ldots\)) gleichmäßig beschränkt, oder ist schließlich \(A\) totalstetig (\(A\) transformiert jede beschränkte Menge in eine bedingt kompakte) und sind die \(A^n\) (\(n=1, 2,\ldots\)) gleichmäßig beschränkt, so gilt der eben genannte Satz sogar mit starker Konvergenz.
Als Folge ergibt sich ein Satz von v. Neumann (Proof of the quasi-ergodic hypothesis, Proc. nat. Acad. Sci. USA 18 (1932), 70-82; F. d. M. \(58_{\text{II}}\) 1271; vgl. auch E. Hopf, ebenda 18, 93-100; F. d. M. \(58_{\text I}\), 838), daß für eine Schar von unitären Operatoren \(U_t\) (\(-\infty< t <\infty\)) mit \(U_tU_s = U_{t+s}\) und \((U_tx, y) =\) meßbare Funktion von \(t\) für beliebige \(x,y\in\mathfrak H\) der Ausdruck \[ \frac1T\int\limits_{a}^{a+T} U_t xdt \] für \(T\to\infty\) gleichmäßig für \(-\infty < a <\infty\) im Sinne der starken Konvergenz gegen einen Grenzwert konvergiert.

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