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Théorème fondamental d’existence pour un système mixte fonctionnel différentiel. (French) JFM 64.0419.02

Verf. gibt folgende Majorantenmethode: Gegeben die Differentialgleichung \[ y^{(n)} = F(x,y,y^\prime,y^{\prime\prime},\dots,y^{(n-1)}), \] wo \(F\) in der Umgebung des Nullpunktes regulär ist und verschwindet. Die bei dem Konvergenzbeweis zum Vergleich herangezogene Differentialgleichung mit größeren Koeffizienten \[ y^{(n)} = \frac M{\left(1-\dfrac xr \right)\left(1 - \dfrac{y + y^\prime + y^{\prime\prime}+ \cdots + y^{(n-1)}}R \right)} - M \] ersetzt Verf. durch die Funktionalgleichung in \(z\) \[ z = \frac M{\left(1 - \dfrac xr \right)\left( 1 - \dfrac{ x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + 1}R xz \right)} - M. \] Diese hat genau eine im Ursprung verschwindende Lösung \(z\), welche als Majorante für \(y\) dient.
Die Methode läßt sich auf Systeme und partielle Differentialgleichungen übertragen.
Sei ferner \(f(x)\) regulär und verschwinde im Nullpunkt. \[ g(x) = \sum_{\nu = 1}^\infty a_\nu x^\nu \qquad (a_\nu \geqq 0) \] sei Majorante für \(f (x)\). Ferner sei \[ \psi(x) = \frac {hx}{1 - \dfrac x\varrho } \] Majorante für die im Nullpunkt verschwindende reguläre Funktion \(\varphi (x)\). Dann hat \(f ((p (x))\) bei genügend großem \(k\) \[ g(kx) \frac k{k-h} \, \frac {1 - \dfrac x\varrho} {1 - \dfrac {hx}{\varrho (k - h)}} \] zur Majorante. Diese Tatsache wird in Verbindung mit der Majorantenmethode zum Beweis des folgenden Existenzsatzes benützt. Sei \(\varphi (x)\) regulär und \[ \varphi (0) = 0, \quad |\varphi ^\prime (0)| < 1. \] Es bezeichne \((x)^1 = \varphi (x)\). Die Differentialgleichung \[ \frac {d^r u}{dx^r} = \varPhi \left(x, u, \frac {du}{dx}, \dots, \frac {d^{r-1}u}{dx^{r-1}}, (u)^1, \left( \frac {du}{dx}\right)^1, \dots, \left( \frac {d^{r-1}u}{dx^{r-1}}\right)^1 \right) \] hat genau eine den Anfangsbedingungen \[ x= 0, \quad u = (u)^1 = b_0, \quad \frac {du}{dx} = \left( \frac {du}{dx}\right)^1 = b_1, \dots, \frac {d^{r-1}u}{dx^{r-1}} = \left( \frac {d^{r-1}u}{dx^{r-1}}\right)^1 = b_{r-1} \] genügende Lösung
Ein entsprechender Satz wird für partielle Differentialgleichungen bewiesen. (IV 9, 12).
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