×

Quelques théorèmes d’intégrabilité par quadratures de l’équation de Riccati. (French) JFM 64.0435.01

Das hauptsächliche Ergebnis dieser Arbeit ist in folgenden beiden Sätzen enthalten:
I. Die Riccatische Gleichung \[ \frac{dy}{dx} = r(x) y^2 + 2s(x) y + t(x) \tag{1} \] läßt sich durch Quadraturen integrieren, wenn einer der Ausdrücke der Folge \((n = 1, 2, 3, \dots)\) \[ C_n(x; \lambda, \mu; \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n) = C_{n-1} + \frac{C_{n-1}^{\prime\prime} + 2C_{n-1}^\prime \lambda_n}{2(\lambda_n^2 + C_{n-1})} \frac 34\, \frac{C_{n-1}^{\prime 2}}{(\lambda_n^2 + C_{n-1})^2} \tag{2} \] konstant ist für geeignete Werte der Konstanten \(\lambda, \mu\); \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n\). Die Funktion \(C_0\) ist ein Ausdruck, der durch \(\lambda, \mu\) sowie die Koeffizienten \(r\), \(s\), \(t\) und ihre Ableitungen bestimmt ist.
II. Die Gleichung (1) läßt sich durch Quadraturen integrieren, wenn zwei der Ausdrücke der Folge (2) für geeignete Werte der Konstanten \(\lambda, \mu, \lambda_1, \lambda_2, \dots\) einander gleich sind.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML