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Quelques remarques supplémentaires sur les équations non linéaires du type de Sturm-Liouville. (French) JFM 64.0439.01
Verf. führt die vorstehend beschriebenen Untersuchungen fort. In Verallgemeinerung der Maximum-Minimum Methode beweist er: \(z_1(x), z_2(x), \dots, z_n(x)\) seien \(n\) linear unabhängige Funktionen mit \(z_\nu(a) = z_\nu(b) = 0\). Man bilde \[ z(x) = \sum_{\nu=1}^n c_\nu z_\nu(x) \] und bestimme die \(c_1, c_2, \dots, c_n\) derart, daß \(\int\limits_a^b \left(z(x)\right)^{2\varkappa}\, dx = 1\) wird und \[ \int\limits_a^b F\left(x, z(x), z^\prime(x)\right)\, dx \] maximal ausfällt. Dieses Maximum werde mit \(\lambda(z_1, z_2, \dots, z_n)\) bezeichnet. Läßt man nun \(z_1, z_2, \dots, z_n\) variieren, so liefert die untere Grenze von \(\lambda(z_1, \dots, z_n)\) gerade den \(n\)-ten Eigenwert \(\lambda_n\).
Seien ferner \(\varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_{n-1}\) gegebene Funktionen. Unter \(\lambda(\varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_{n-1})\) werde die untere Grenze von \(\int\limits_a^b F(x, y, y^\prime)\, dy\) bei den Nebenbedingungen \[ y(a) = y(b) = 0, \quad \int\limits_a^b y^{2\varkappa}\,dx = 1, \quad \int\limits_a^b \varrho_\nu y\,dx = 1, \quad (\nu = 1, 2, \dots, n-1) \] verstanden. Dann ist die obere Grenze von \(\lambda(\varrho_1, \varrho_2, \dots, \varrho_{n-1})\) gleich \(\lambda_n\). (IV 15.)

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