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Majoration des dérivées secondes des solutions d’un problème de Dirichlet. (French) JFM 64.0461.02
Die Arbeit stellt die Ausführung des § 1 einer in den C. R. Acad. Sci., Paris, 205 (1937), 784-786; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 450 (vgl. auch C. R. Acad. Sci., Paris, 205 (1937), 268-270; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 451) erschienenen Note des Verf. über das Dirichletsche Problem bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen dar. Hierbei spielt die Abschätzung höherer Ableitungen eine wesentliche Rolle. Für den quasilinearen Fall ist dies bereits geschehen. Verf. behandelt den Fall beliebiger nichtlinearer Gleichungen und gibt eine Abschätzung für die zweiten Ableitungen, die überdies lokalen Charakter trägt. \(f (r, s, t, p, q, x, y, z) = 0\) sei die Differentialgleichung; \(f\) sei dreimal stetig differenzierbar. Es sei \(d\) ein Teilgebiet des gegebenen, das mit dessen Rand auch einen Teilbogen c gemeinsam haben kann. Bekannt sei \(p^2 + q^2 < A(d)\), wo \(A\) eine vom Gebiet abhängige Konstante ist. Ferner sei, wenn \(f^2_r + f^2_s + f^2_t = \mu^2\), \(r^2 + s^2 + t^2 + 1 = \nu^2\) gesetzt wird: \[ \begin{gathered} f^2_p +f^2_q + f^2_x + f^2_y + f^2_z + f^2_{pp} + \cdots + f^2_{px} + \cdots + f^2_{zz}<A(d)\mu^2\nu^2,\\ f^2_{rp} +\cdots + f^2_{tz} < A(d)\mu^2,\quad f^2_{rr} + \cdots + f^2_{rs}+ \cdots+ f^2_{tt}<A (d) \mu^2 \nu^{-2}. \end{gathered} \]
Dann wird bewiesen: \(r^2 + s^2 + t^2 < A(d)\) und, falls \(d\) einen Randbogen \(c\) enthält, \(r^2 + s^2 + t^2 < A(c)\).

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