Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. (French) JFM 64.0476.03

Riesz, M.

Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 9, 1-42 (1938).

Unter den möglichen Verallgemeinerungen des Integrals von Riemann-Liouville für mehrdimensionale Räume behandelt Verf. den elliptischen Fall. Es ist definiert durch die folgende Operation: \[ I^\alpha f(P)=\frac1{H_m(\alpha)} \int\limits_\varOmega f(Q) r_{PQ}^{\alpha-m} \,dQ \] oder allgemeiner \[ \begin{gathered} U^\alpha (P) = \frac1{H_m(\alpha)} \int\limits_\varOmega r_{PQ}^{\alpha-m}\, d\mu(Q),\qquad \alpha>0, \tag{1}\\ H_m(\alpha)=\frac{\pi^{\frac m2} 2^\alpha \varGamma\left(\dfrac\alpha2\right)} {\varGamma\left(\dfrac{m-\alpha}2\right)}. \end{gathered} \] Dann ist \[ \triangle U^{\alpha+2} (P) = -U^\alpha(P). \] Dies führt auf die verallgemeinerten Potentiale der Ordnung \(\alpha\) (vgl. O. Frostman, Meddelanden Mat. Sem. Univ. Lund 3 (1935); F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1262). Aus den allgemeinen Bemerkungen über die Potentiale \[ v=\int\limits_\varOmega r^{\alpha-m}_{PQ}\,d\nu(Q)\qquad (0<\alpha<m) \] sei der folgende Eindeutigkeitssatz hervorgehoben: Wenn \(v\) außer in einer Menge vom Maße null verschwindet, so ist die Belegung \(\nu\) identisch null. Neu ist der Umstand, daß die Massen \(\nu (e)\) über den ganzen Raum ausgebreitet sein dürfen.
Es folgt dann ein Kapitel über Greensche Massen und die Greensche Funktion. Spiegelt man eine abgeschlossene Punktmenge F an der Kugel vom Radius 1 um einen äußeren Punkt \(M\) von \(F\) nach \(F'\), bestimmt die Gleichgewichtsverteilung \(\mu'\) (Frostman, l. c.) auf \(F'\) und definiert \(\mu_M(e)\) auf \(F\) durch \(d\mu_M(Q) = r^{\alpha-m}_{MQ'}d\mu'(Q')\), so ist \[ h_M(P)=\int\limits_F r^{\alpha-m}_{PQ} d\mu_M(Q) = r^{\alpha-m}_{MP} \] für Punkte \(P\) von \(F\) außer möglicherweise in einer Menge der Kapazität null. \(\mu_M(e)\) heißt Greensche Massenverteilung von \(F\) in bezug auf \(M\). Die Funktion \(G_M(P) = r^{\alpha-m}_{MP} - h_M(P)\) heißt Greensche Funktion von \(F\). Sie ist gleich null für innere Punkte von \(F\) und außerdem in den Randpunkten mit möglicher Ausnahme einer Menge von der Kapazität null. Diese Ausnahmemenge hängt nicht von der Lage von \(M\) ab. Ihre Punkte heißen irregulär. Bedeutet \(F''\) die Ausnahmemenge, so gilt für jedes Potential von auf \(F\) verteilten Massen die fundamentale Darstellung \[ v (M) = \int\limits_F v(Q)\,d\mu_M(Q) + \int\limits_{F''}G_M(Q)\, d\nu(Q). \] Sind alle Punkte regulär, oder trägt \(F''\) keine Masse, so ist das zweite Integral null, und man erhält die Verallgemeinerung der de la Vallée-Poussinschen Lösung des Dirichletschen Problems im Falle des Newtonschen Potentials (Ann. Inst. H. Poincaré 2 (1932), 169-232; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 509).
In weiterer Analogie wird die “méthode du balayage” entwickelt. Die bei Ausfegung der in einem Punkte lokalisierten Einheitsmasse auftretende Verteilung ist die Greensche. Der allgemeine Fall wird auf diesen mittels einer Integraldarstellung zurückgeführt.
Es folgen Ausführungen über die Fortsetzung von Funktionen \(f\), die auf einer beliebigen Punktmenge \(F\) vorgegeben sind, durch die Formel \[ \overline f(M)=\int\limits_F f(Q)\,d\mu_M(Q). \] Es wird gezeigt, daß man die Fortsetzung einer stetigen oder allgemeiner einer beschränkten Baireschen Funktion als Grenzfunktion einer beschränkten Folge von Potentialen gewinnen kann. Im Newtonschen Falle liefert dies eine Lösung des verallgemeinerten Dirichletschen Problems mit nichtstetiger Randfunktion.
Zum Schluß wird noch die Frage behandelt, wann sich eine gegebene Funktion \(f (Q)\) als Potential darstellen läßt. Sieht man von einer additiven Konstanten ab, so ist dies dann und nur dann möglich, wenn \(f (Q)\) abwärts halbstetig ist und für jede abgeschlossene Punktmenge \(F\) die Ungleichung \[ \int\limits_F f(Q)\, d\mu_M(Q)\leqq f(M) \] erfüllt. Solche Funktionen bezeichnet Verf. als superharmonisch (surharmoniques) von der Ordnung \(\alpha\).

Reviewer: Tautz, G., Dr. (Breslau)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Potentialtheorie.