Points irréguliers. Détermination des masses par les potentiels. (French) JFM 64.0478.01

de la Vallée Poussin, C.

Acad. Belgique, Bull. Cl. Sci. (5) 24, 368-384 (1938).

Wenn das Potential von Ladungen, die auf einer Menge \(E\) verteilt sind, beschränkt ist, so ist die Verteilung der Massen durch die Kenntnis des Potentials in allen Punkten von \(E\) völlig bestimmt oder sogar auch, wenn man von den Werten in einer Menge von der Kapazität null absieht. Dieser Satz, den man in wohlbekannter Weise aus dem Energiesatz erhält, wird vom Verf. erweitert, insofern als er auch unendliche oder unbestimmte Werte des Potentials zuläßt. Diese Erweiterung erfordert jedoch Bedingungen der einen oder anderen Art, die Verf. präzisiert. Es genügt z. B., das Potential in einer etwas größeren, \(E\) umfassenden Menge zu kennen, oder auch, daß die Belegung auf der etwaigen irregulären Teilmenge von \(E\) verschwindet. Verf. gibt auch Formeln zur effektiven Berechnung der Massen, die auf einer vorgegebenen Menge liegen, an. Der Beweis für die Eindeutigkeit kann, wie Verf. zeigt, auf verschiedene Weisen geführt werden; einer der einfachsten dürfte wohl derjenige sein, der aus einer Formel von M. Riesz in Verbindung mit einem allgemeinen Eindeutigkeitssatz desselben Autors unmittelbar folgt (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit, insbesondere S. 10 u. 20).
Verf. untersucht auch die Eigenschaften der irregulären Punkte, die er übrigens auch für nicht-abgeschlossene Mengen definiert, und beweist u. a. den folgenden interessanten Satz, der frühere Behauptungen präzisiert: Es seien \(\mathfrak S\) eine Kugel mit dem Mittelpunkt \(O\) in \(E\) (abgeschlossen) und \(E\mathfrak S\) die abgeschlossene Teilmenge von \(E\), die in \(\mathfrak S\) fällt. Man bezeichne mit \(W'\) das zum Wert 1 normierte Gleichgewichtspotential von \(E\mathfrak S\). Wenn \(O\) irregulär in bezug auf \(E\) ist, dann ist der Grenzwert \[ \lim_{\varrho\to0} W'(O) = 0, \] wenn der Radius \(\varrho\) von \(\mathfrak S\) nach null strebt.

Reviewer: Frostman, O., Dr. (Lund)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Theorie der partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus. Potentialtheorie.