×

zbMATH — the first resource for mathematics

Traité du calcul des probabilités et de ses applications. Tome I: Les principes de la théorie des probabilités. Fasc. 3: M. Fréchet. Recherches théoriques modernes sur le calcul des probabilités. Second livre: Méthode des fonctions arbitraires. Théorie des événements en chaîne dans le cas d’un nombre fini d’états possibles. (French) JFM 64.0536.01
X + 315 p. Paris, Gauthier-Villars (1938).
Das Buch ist eine ausführliche Gesamtdarstellung der Theorie der Markoffschen Ketten, die durch zahlreiche neue Ergebnisse des Verf. abgerundet ist. Der große Umfang dieses Gebietes nötigte allerdings zur Beschränkung auf Ketten mit endlich vielen Merkmalen und konstanten Übergangswahrscheinlichkeiten.
Nach einer Schilderung der Ausgangspunkte der Theorie (Mischungsaufgaben, Brownsche Bewegung, Ergodenprinzip) wird der Markoffsche Fall einer diskreten Folge von Versuchen behandelt. Die Matrizen \(\{ p_{ik} \}\) der Übergangswahrscheinlichkeiten werden klassifiziert (positiv regulärer, regulärer, semiregulärer, nicht oszillierender Fall) und für jeden Fall die notwendigen und hinreichenden Bedingungen angegeben. Das asymptotische Verhalten der Wahrscheinlichkeiten \(P_{ik}^{(n)}\) für den Übergang eines sprunghaft veränderlichen Systems aus dem Zustand \(E_i\) in den Zustand \(E_k\) in \(n\) Sprüngen wird nach drei Methoden untersucht und zwar mittels Sätzen über lineare Mittelbildungen, mittels der charakteristischen Wurzeln der Matrix \(\{ p_{ik} \}\) und auf Grund der Einteilung der Zustände des Systems in Endgruppen und zyklische Untergruppen (“direkte Methode”).
Werden den verketteten Zuständen \(E_i\) Werte \(x_i\) zugeordnet, dann ist dadurch eine Zufallsveränderliche definiert. Das asymptotische Verhalten ihrer Momente (für \(n \to \infty\)) wird untersucht und an Beispielen erläutert.
Der Beweis für die Gültigkeit des Gaußschen Verteilungsgesetzes für die Summe von \(n\) aufeinanderfolgenden Merkmalen wird nach der Momentenmethode erbracht.
Der letzte Abschnitt bringt die Theorie einer stetigen Folge von Versuchen, also des Verhaltens der Wahrscheinlichkeiten \(P_{ik}(s, \,t)\) dafür, daß ein System zur Zeit \(t\) im Zustand \(E_k\) ist unter der Voraussetzung, daß es zur Zeit \(s\) im Zustand \(E_i\) war. Hier geht Verf. teils von der von A. Kolmogoroff aufgestellten partiellen Differentialgleichung aus, teils werden die Ergebnisse direkt aus der für die \(P_{ik}(s, \,t)\) bestehenden Funktionalgleichung abgeleitet, für die die allgemeinste stetige Lösung angegeben wird.
Sechs mathematische Anhänge behandeln Sonderfragen, insbesondere aus der linearen Algebra und der Theorie der linearen Differential- und Differenzengleichungen. Ein Literaturverzeichnis, das sämtliche bis zum Erscheinungsjahr vorliegenden Arbeiten anführt, beschließt das Werk.