Sur le problème général du calcul projectif. (French) JFM 64.0587.03

Glagoleff, N.

J. Math. pur. appl. (9) 17, 387-404 (1938).

Es ist bekannt, in welcher Weise (nach dem Vorgange von Hamilton) E. Study hyperkomplexe Zahlen zur analytischen Behandlung geometrischer Fragen, insbesondere auch zum Studium von Transformationsgruppen verwendet hat (vgl. z. B. E. Study, Mh. Math. Physik 1 (1890), 283-355; F. d. M. 22, 387 (JFM 22.0387.*)). Die Zuordnung zwischen hyperkomplexen Zahlen und den Punkten eines Raumes geschieht so, daß die Koeffizienten \(\alpha_i\) der hyperkomplexen Zahl \(\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\cdots+\alpha_ne_n\) (\(e_i\) eine Basis des Systems) als Koordinaten des zugeordneten Punktes betrachtet werden; dabei können nach Bedarf affine, projektive und andere Koordinaten gemeint sein. Die Addition und Multiplikation des hyperkomplexen Systems wird damit den Punkten des Raumes aufgeprägt, die Multiplikation mit einem festen Element z. B. wird zu einer linearen Transformation in den gewählten Koordinaten usw. In der vorliegenden Abhandlung spricht Verf. von einem “System projektiver Zahlen”, wenn für die Punkte des (reellen) projektiven Raumes von \(n\) Dimensionen irgendwie eine Addition und eine Multiplikation definiert ist, von denen man nur weiß, daß beide kommutativ und assoziativ sind und auch dem Distributivgesetz genügen und daß überdies die Addition eines festen Punktes zu den übrigen und ebenso die Multiplikation mit einem festen Punkt stets eine Kollineation ergibt. Die Voraussetzungen genügen, um die möglichen Systeme projektiver Zahlen zu bestimmen. Es ergeben sich wieder die hyperkomplexen Systeme über dem Körper der reellen Zahlen, die mit dem projektiven Raum in der oben erwähnten Weise verknüpft sind. Die geometrische Bedeutung der Rechengesetze wird eingehend behandelt.

Reviewer: Sperner, E., Prof. (Königsberg)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 1. Grundlagen. Nichteuklidische Geometrie.

Citations:

JFM 22.0387.*