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Eine Charakterisierung der Bettischen Gruppen von Polyedern durch stetige Abbildungen. (German) JFM 64.0607.03

\(K\) sei ein endlicher, simplizialer, euklidischer Komplex, \(K^r\) der Teilkomplex, der aus allen höchstens \(r\)-dimensionalen Simplexen von \(K^r\) besteht, \(\overline K^r\) das \(K^r\) entsprechende Polyeder. Eine Abbildung \(f\) von \(\overline K^r\) in die \(r\)-dimensionale Sphäre \(S^r\) heißt normal, wenn der Rand jedes \((r + 1\))-dimensionalen Simplexes von \(K\) unwesentlich (also mit dem Grade 0) in \(S^r\) abgebildet wird, eine Abbildungsklasse, wenn sie eine (und dann lauter) normale Abbildungen enthält. Benutzt man die von H. Freudenthal [Compos. Math. 2, 134–162 (1935; JFM 61.0615.01)] eingeführte Addition der Abbildungsklassen von \(\overline K^r\) in \(S^r\), so bilden die normalen Abbildungsklassen eine Gruppe \(\mathfrak F^r (K)\). Es wird gezeigt:
Für jedes \(r \ge 1\) sind \(\mathfrak F^r(K)\) und die Bettische Gruppe \(B_1^r(K)\) in bezug auf den Koeffizientenbereich der mod 1 reduzierten reellen Zahlen Charakterengruppen mod 1 voneinander. Die \(B_1^r(K)\) – somit alle Bettischen Gruppen von \(K\) – sind also durch die \(\mathfrak F^r (K)\) bestimmt.
Für \(r =1\) vgl. N. Bruschlinsky [Math. Ann. 109, 525–537 (1934; JFM 60.0531.02)], für \(r = \dim K\): H. Freudenthal, a. a. O. und “Bettische Gruppe mod 1 und Hopfsche Gruppe” [Compos. Math. 4, 235–238 (1937; JFM 64.1272.01)]. S. Lefschetz ist, ohne auf die Untersuchungen Freudenthals, zurückzugreifen, zu einem gleichwertigen Ergebnis gelangt (s. das vorangehende Referat zu [Fundam. Math. 31, 4–14 (1938; JFM 64.0607.02)]; vgl. auch die dort zitierte frühere Arbeit von S. Lefschetz [Fundam. Math. 27, 94–115 (1936; JFM 62.1411.02)]).

MSC:

55U10 Simplicial sets and complexes in algebraic topology