The topological structure of a variety defined by an equation. (English) JFM 64.0612.01

Kaplan, W.

Compositio math., Groningen, 5, 327-346 (1938).

Der Arbeit liegt das Problem zugrunde: Wie kann man, wenn eine Funktion \(f(x_1,\ldots, x_n)\) gegeben ist, die man gut kennt, die topologischen Eigenschaften (Bettischen Zahlen usw.) derjenigen Punktmenge \(M_f\) des euklidischen \(R^n\) ermitteln, die durch \(f = 0\) bestimmt ist? Es wird ausführlich der Spezialfall diskutiert, in dem \[ f(x_1,\ldots,x_n) = \varphi_1(x_1)+\ldots + \varphi_n(x_n) \] ist, wobei die \(\varphi_i\) stetig und stückweise monoton sind; es wird gezeigt, daß dann \(M_f\) einem Komplex homöomorph ist, dessen Inzidenzmatrizen (und damit die klassischen Homologie-Invarianten von \(M_f\)) aufgestellt werden können, vorausgesetzt, daß man die \(\varphi_i\) in einem wohlbestimmten Sinne “gut kennt”; es wird bewiesen, daß \(M_f\) bis auf isolierte punktförmige Singularitäten aus Mannigfaltigkeiten besteht; über das Auftreten und die Natur der Singularitäten werden präzise Aussagen gemacht. Die Möglichkeit, in ähnlicher Weise auch allgemeinere Funktionen \(f\) zu behandeln, wird angedeutet.

Reviewer: Hopf, H., Prof. (Zürich)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 2. Topologie.