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Metric spaces and positive definite functions. (English) JFM 64.0617.02
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Beziehung, die zwischen dem Problem der isometrischen Einbettung (insbesondere in den Hilbertschen Raum \(\mathfrak H\)) und dem Begriff der positiv definiten Funktion besteht. Es sei \(\mathfrak S\) ein quasimetrischer Raum (d. h. mit einer symmetrischen nicht-negativen Abstandsfunktion \(PQ\) versehen, wobei \(PP = 0\)). Eine reelle stetige Funktion \(g(t)\), \(t \geqq 0\), heißt positiv definit in \(\mathfrak S\), wenn für jedes System \(P_1,\ldots, P_n\) von Punkten aus \(\mathfrak S\) die quadratische Form \(\sum\limits_1^n g(P_iP_j)\varrho_i\varrho_j\) positiv semidefinit ist. Der separable quasimetrische Raum \(\mathfrak S\) ist dann und nur dann in \(\mathfrak H\) isometrisch einbettbar, wenn für jedes \(\lambda> 0\) die Funktion \(e^{-\lambda t^2}\) als Funktion von \(t\) in \(\mathfrak S\) positiv definit ist. Hieraus ergibt sich für \(m\)-dimensionale Zahlenräume mit einer Funktion der \(m\) Koordinatendifferenzen als quasimetrischem Abstand und unter Verwendung des Begriffes der positiv definiten Funktion von \(m\) Veränderlichen (vgl. S. Bochner, Math. Ann. 108 (1933), 378-410; JFM 59.0272.*) eine Kennzeichnung der Einbettbarkeit in \(\mathfrak H\). Verf. bestimmt in Zusammenhang damit alle reellen Funktionen \(f(x)\), bei welchen \([f(x)]^\lambda\) für jedes \(\lambda > 0\) positiv definit ist. Durch Übergang von der Abstandsfunktion \(PQ\) zu \((PQ)^\gamma\), \(\gamma > 0\), entsteht aus \(\mathfrak S\) der quasimetrische Raum \(\mathfrak S(\gamma)\). Auch die Frage der Einbettbarkeit von \(\mathfrak S(\gamma)\) in \(\mathfrak H\) wird in einigen Fällen, wo für \(\mathfrak S\) bekannte Typen von linearen Räumen mit pseudo-euklidischem Abstand stehen (z. B. \(\mathfrak H\) selbst), erledigt. Die Arbeit schließt mit zwei Problemstellungen bei positiv definiten Funktionen. (IV 8 A.)

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