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Espaces métriques quasi convexes. (French) JFM 64.0618.01

Bezeichnet man in einem metrischen Raum \(R\) die Menge aller Punkte \(x\), deren Abstand \(\overline{ax}\) von einem festen Punkt \(a\) kleiner als \(\alpha\) ist, mit \(s(a, \alpha)\), die Menge aller Punkte \(x\), für die \(\overline{ax}\leqq\alpha\) ist, mit \(s(a,\overline\alpha)\), die Menge \(s(a, \overline\alpha) - s(a,\alpha)\) mit \(\sigma(a, \alpha)\), ferner mit \(A_f\) die Begrenzung, mit \(A_i\) das Innere von \(A\), dann gelten in Euklidischen Räumen die folgenden bekannten Beziehungen:
\(F_1\)) \(s(a, \overline\alpha) =\overline{s(a,\alpha)},\,\;|I_1)\quad s(a, \alpha) = s(a, \overline\alpha)_i\)
\(F_2\)) \(s(a, \alpha)_f= \sigma(a, \alpha)\;| I_2)\quad s(a,\overline\alpha)_f=\sigma(a,\alpha)\)
\(P\)) \(\sigma(a,\alpha)_i=0\)
\(C_1\)) Die \(s(a, \alpha)\) sind zusammenhängend.
\(C_2\)) Die \(R - s(a, \alpha)\) sind zusammenhängend.
\(D\)) Sind die Punkte \(a\), \(b\) und die Zahlen \(\alpha > \beta > 0\) so gegeben, daß \(\overline{ab} < \alpha\) ist, dann gibt es eine \(s(c, \beta) \subset s(a,\alpha)\), in der \(b\) liegt.
\(R_1\)) Ist \(A = \bar A\), dann ist \(A_{fi} = 0\).
\(R_2\)) Ist \(A = A_i\), dann ist \(A_{fi} = 0\).
Es wird gezeigt, daß alle diese Aussagen in allgemeinen metrischen Räumen nicht gelten. Ihre Abhängigkeit von einander wird untersucht; zunächst ist \(F_1\) mit \(F_2\), \(I_1\) mit \(I_2\) äquivalent; aus \(F\) folgt \(R_1\), aus \(I\) \(R_2\).
\(F\) wird als ein einfacher Ausdruck der vom Verf. schon in C. R. Acad. Sci., Paris, 200 (1935), 1646-1648 (JFM 61.0635.*) eingeführten (starken) Quasikonvexheit erkannt. Dabei heißt \(R\) (stark) quasikonvex, wenn für jeden Punkt \(a\) die Entfernung \(\overline{ax}\) kein schwaches Minimum hat, während bei der schwachen Quasikonvexheit in derselben Weise die starken Minima ausgeschlossen werden. Die (starke) Quasikonvexheit wird erste Regularitätseigenschaft des Abstandes genannt. Aus ihr wird die zweite Regularitätseigenschaft durch Ersetzen des Wortes Minimum durch das Wort Maximum gewonnen. Die aus diesen Regularitätseigenschaften folgenden Eigenschaften metrischer Räume werden eingehend erörtert. Insbesondere wird gezeigt, wie die Eigenschaften \(F\), \(I\), \(P\), \(C_k\), \(D\), \(R_k\) mit ihnen zusammenhängen. Wir heben nur folgende Beispiele hervor: Ist der Raum quasikonvex, dann kann die Entfernung eines Punktes \(a\) von einer ihn nicht enthaltenden Menge \(M\) nur auf \(M_f\) angenommen werden. Damit alle \(s(a,\alpha)\) zusammenhängend seien, ist die schwache Quasikonvexheit notwendig, die starke hinreichend. Ebenso ist für das Gelten von \(D\) die schwache Quasikonvexheit notwendig, die starke hinreichend.
Diese Betrachtungen werden auf verallgemeinerte Sphären \(E_\alpha=s(E, \overline\alpha)\), \(E_{\overline\alpha}= s(E, \overline\alpha)\) usw. ausgedehnt, wobei z. B. \(s(E,\alpha)\) die Menge aller \(x\) ist, deren Abstand von der Menge \(E\) kleiner als \(\alpha\) ist. Aus diesen Sphären erster Ordnung \(E_\alpha\), \(E_{\overline\alpha}\) werden Sphären höherer Ordnung \(E_{\alpha,\beta}\), \(E_{\overline\alpha,\beta}\) u. dgl. gebildet und u. a. die Beziehungen zwischen \(E_{\alpha,\beta}\), \(E_{\beta,\alpha}\), \(E_{\alpha+\beta}\) untersucht. Ferner werden diese Begriffe mit den verschiedenen Limesdefinitionen bei Mengenfolgen, insbesondere mit der “Stetigkeit” der Limiten, in Beziehung gebracht.
Auch mit der Konvexheit im Sinn von K. Menger (Math. Ann. 100 (1929), 76-163; F. d. M. 54, 622 (JFM 54.0622.*)) und der Vollkonvexheit und Fastkonvexheit im Sinn von N. Aronszajn (Diss. Warschau, 1930) wird die Quasikonvexheit verglichen; z. B. erweist sich die Quasikonvexheit in kompakten Räumen mit der Mengerschen Konvexheit gleichbedeutend, während es sonst im Sinn von Menger konvexe Räume gibt, die nicht quasikonvex sind, wie quasikonvexe Räume, die im Sinn von Menger nicht konvex sind.
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