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On a principle of duality in circle sphere and line geometries. (English) JFM 64.0656.02
Viele geometrische Disziplinen werden vorteilhaft vom Standpunkt einer nichteuklidischen Geometrie eines \(R_n\) aus angesehen: Das dort aufgestellte Dualitätsprinzip dient als Richtschnur der Untersuchungen. Im \(R_n\) sei eine Kollineation \(C\) und die Polarität \(P\) bezüglich einer Quadrik \(\varOmega\) gegeben; die Transformationen \(C\) und \(PCP\) führen \(\varOmega\) in die zu \(\varOmega\) polar-reziproken Quadriken \(\varOmega_1\) und \(\varOmega_2\) über. Durch geeignete Wahl von \(C\) wird daraus die “Dualitätstransformation” für bestimmte Anwendungen gewonnen. – Die erste Anwendung ist die Kreisgeometrie, wo \(\varOmega\) alle Punktkreise und \(\varOmega_1\) alle Kreise mit konstantem Halbmesser bedeuten. Auf Grund des dargelegten Prinzips werden Sätze über Punkt-Kreis-Konfigurationen in solche über Konfigurationen von beliebigen Kreisen überführt. Die zweite Anwendung ist die Liniengeometrie, wo Sätze über Konfigurationen zwischen zwei Systemen von Geraden in solche zwischen zwei Systemen linearer Komplexe mit entgegengesetztem Drall übertragen werden. Zum Schluß wird die Bedeutung des Dualitätsprinzips in der Kugelgeometrie gezeigt.
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