Corps convexes. Séries linéaires. Domaines vectoriels. (French) JFM 64.0730.01

Vincensini, P.

Mém. Sci. math. 94, 60 p (1938).

Die Schrift ist hauptsächlich eine zusammenhängende Darstellung der Ergebnisse, die Verf. schon in sieben Einzelveröffentlichungen seit 1936 bekannt gemacht hat. Sie gründen sich auf die Eigenschaften der von Brunn eingeführten Linearscharen und der Vektorbereiche konvexer Körper. Bei den Linearscharen wird besonders die Frage ihrer Fortsetzung über die zunächst am Ende einer Schar stehenden Ausgangskörper hinaus erörtert und die Fortsetzung dann mit den Vektorbereichen zusammen dazu benutzt, einen einheitlichen Zugang zu neueren Sätzen aus der Theorie der Eikörper zu gewinnen, die sich allerdings gelegentlich (z. B. S. 41) auf anderem Wege noch einfacher beweisen ließen. Die klassische Theorie der Eikörper wird nur als Hilfsmittel benutzt und nicht selbst weiter gefördert.
Inhalt: Kap. I: Grundlegende Begriffe. II: Fortsetzung der Linearscharen konvexer Körper III: Die Vektorbereiche konvexer Körper. – Hier tritt ein Versehen auf das auch schon in der Monographie von Bonnesen-Fenchel steht: Der Rauminhalt \(V\) des Vektorbereichs \((S + \bar S)\) des \(n\)-dimensionalen Simplex \(S\) ist nach H. Kneser \(V\,(S + \bar S) = \binom {2n} n\,V\,(S)\). IV: Anwendungen des Begriffs Vektorbereich auf das Studium der konvexen Körper. Eigenschaften räumlicher und ebener Eibereiche, Linearscharen von Vektorbereichen, Konstruktion aller konvexen Körper durch Linearkombination aus der Gesamtheit derjenigen unter ihnen, die einen und denselben Vektorbereich haben (z. B. der Eikörper fester Breite). Der Satz von S. 35/36 geht auf Erhard Schmidt, der von S. 38 auf W. Blaschke zurück.
Besprechung: A. Buhl; Enseign. math. 37 (1938), 351-352.

Reviewer: Süß, W., Prof. (Freiburg im Breisgau)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Konvexe Körper. Integralgeometrie.