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Étude du mouvement d’un fluide parfait dépourvu d’accélération. (French) JFM 64.0851.01

Das hydrodynamische Problem, die Bewegungen einer inkompressibeln Flüssigkeit ohne jede Kraftwirkung zu suchen, führt auf sehr interessante Fragestellungen aus der Differentialgeometrie. Bei einer solchen Bewegung muß der Ortsvektor \[ \mathfrak x=\xi_0+t\mathfrak v(\mathfrak x_0) \] sein, wo \(\mathfrak x_0 = a\mathfrak i + b\mathfrak j+ c\mathfrak k\) ist. Die Inkompressibilität verlangt das Verschwinden aller drei Invarianten des Ableitungstensors von \(\mathfrak v\) nach \(\mathfrak x_0\). Das Verschwinden der dritten Invarianten, der Determinante, läßt außer der trivialen, daß \(\mathfrak v\) konstant ist, noch zwei Möglichkeiten offen: 1) \(\mathfrak v\) hängt von einem Parameter \(\lambda\) ab, 2) \(\mathfrak v\) hängt von zwei Parametern \(\lambda\), \(\mu\) ab. Wir haben also im Hodographenraum einen Punkt (trivialer Fall) oder eine Kurve oder eine Fläche. Verf. nennt diese Gebilde die Indikatrix \(I\). Der erste nichttriviale Fall läßt sich schnell erledigen. Die zweite Invariante verschwindet von selbst, das Verschwinden der ersten ergibt, daß die Fläche \(\lambda=\) const ein Zylinder sein muß. Daher läßt sich die Bewegung aus einer eindimensionalen Schar von Zylindern konstruieren. Im zweiten nichttrivialen Fall wird zuerst der Sonderfall behandelt, daß die Indikatrix eine Ebene sei. In diesem Falle löst man das Problem mittels einer Schar abwickelbarer Flächen. Im allgemeinen Fall erscheint jedem Punkt der Indikatrix eine Linie zugeordnet, deren Punkte dieselbe Geschwindigkeit haben, sich also wie ein starrer Faden fortbewegen. Das Verschwinden der zweiten Invarianten sagt aus, daß diese Fäden eben sind und in einer Ebene liegen, die der Tangentialebene an die Indikatrix in dem zugehörigen Punkte parallel ist. Die geometrische Bedeutung des Verschwindens der ersten Invarianten kann jetzt genau angegeben werden. In der Durchführung wird in einem ersten Kapitel zuerst der Fall behandelt, daß die starren Fäden gerade Linien sind. Es kann eine genaue Konstruktion angegeben werden. Im zweiten Kapitel wird der allgemeine Fall durchgeführt, wobei es einen Unterschied macht, ob die Indikatrix eine abwickelbare Fläche ist oder nicht. Die Konstruktion der Bewegung im allgemeinen Falle lautet so: Zwischen der Fläche der Indikatrix \(I\) und einer zweiten willkürlichen Fläche \(\varSigma\) stelle man eine Abbildung durch parallele Tangentialebenen her. Auf \(\varSigma\) ziehe man die Parallelen zu den Asymptotenlinien auf \(I\) und zeichne dazu als Asymptoten einen Kegelschnitt \(C\). Diese \(C\) bilden die genannten starren Fäden, ihre Punkte bewegen sich mit derselben Geschwindigkeit, die man bekommt, wenn man irgend einen Punkt 0 mit dem Punkt von \(I\) verbindet.
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Full Text: DOI Numdam EuDML