×

zbMATH — the first resource for mathematics

The homogeneous chaos. (English) JFM 64.0887.02
Die Arbeit hat zum Ziel, die Methoden der Ergodentheorie auf Systeme mit unendlichvielen Freiheitsgraden (Gas, Flüssigkeit, Turbulenzfeld) anzuwenden.
Die Verteilungsfunktionen des Systems werden auf ein Parameterintervall \(0 \leqq \alpha \leqq 1\) eines statistischen Parameters bezogen. Ein homogenes Chaos in dem \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum \(R_n\) ist gegeben durch eine für alle \(x_1, \ldots \!, x_n\) definierte, meßbare Funktion \[ \varrho(x_1, \ldots \!, x_n; \alpha) \qquad (0 \leqq \alpha \leqq 1), \] bei der die Punktmenge des \(\alpha\)-Intervalls, für die die \[ \varrho(x_1+y_1, \ldots \!, x_n+y_n; \alpha) \] zu einer vorgegebenen Menge \(S\) gehören, falls sie für irgendwelche speziellen \(y_1, \ldots \!, y_n\) ein endliches Maß hat, allgemein ein von der speziellen Wahl der \(y_1, \ldots \!, y_n\) unabhängiges Maß besitzt. Man denke dabei etwa an den räumlich homogenen Charakter eines homogenen Gases oder einer Flüssigkeit. Die räumlichen Translationen bilden also eine maßerhaltende Abelsche Gruppe des Verteilungsparameters.
Mit Hilfe eines solchen Chaos läßt sich die additive Mengenfunktion \[ F(\varSigma; \alpha)=\underset{\varSigma} {\int \cdots \int} \varrho(x_1, \ldots \!, x_n; \alpha)\, dx_1, \ldots \!, dx_n \] definieren. Diesen Zusammenhang benutzt Verf., um ein homogenes Chaos allgemeiner als eine additive Mengenfunktion \[ F(\varSigma; \alpha) \] zu definieren, die noch die folgende Invarianzeigenschaft besitzt: Versteht man unter \[ \varSigma(y_1, \ldots \!, y_n) \] die Menge aller Punkte des \(R_n\) mit den Koordinaten \[ (x_1+y_1, \ldots \!, x_n+y_n) \quad \text{mit} \quad (x_1, \ldots \!, x_n) \in \varSigma, \] so soll die \(\alpha\)-Menge, für die \[ F \left( \varSigma(y_1, \ldots \!, y_n); \alpha \right) \] zu einer vorgegebenen Menge \(S\) gehört, ein von den \(y_1, \ldots \!, y_n\) unabhängiges Maß besitzen, falls sie für mindestens ein spezielles Wertesystem \((y_1, \ldots \!, y_n)\) überhaupt meßbar ist.
Ist für ein solches allgemeines Chaos \(F(\varSigma; \alpha)\) die durch ein Funktional \[ \varPhi \left(F(\varSigma; \alpha)\right)=g(\alpha) \] definierte Funktion \(g(\alpha)\) meßbar und ist \[ \int\limits_{0}^{1} \left| g(\alpha) \log^+ |\, g(\alpha) \,| \right| \, d \alpha \] endlich, so existiert analog wie beim Birkhoffschen Ergodensatz \[ \lim\limits_{r \to \infty} \frac{1}{V(r)} \underset{R} {\int \cdots \int} \varPhi (F(\varSigma(y_1, \ldots \!, y_n); \alpha )) \,dy_1, \ldots \!,dy_n \] für fast alle \(\alpha\), wobei \(R\) das Innere der Kugel \[ y_1^2+\cdots+y_n^2 \leqq r^2 \] und \(V(r)\) ihr Volumen ist.
Für ein in geeigneter Weise definiertes, metrisch transitives \(F(\varSigma; \alpha)\) gilt, daß der Wert dieses Integrals für fast alle \(\alpha\) gleich \[ \int\limits_{0}^{1} \varPhi (F(\varSigma; \beta))\, d\beta \] ist.
In den weiteren Paragraphen beschäftigt sich Verf. mit speziellen metrisch transitiven Chaos.
Allgemein ist zum Text zu bemerken, daß die nicht sehr klare Darstellung dem Leser das Eindringen in die Einzelheiten der Beweisführung sehr erschwert.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI