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The Schönemann-Eisenstein irreducibility criteria in terms of prime ideals. (English) JFM 64.0951.04

Verf. wendet seine Bewertungstheorie in Polynomringen (Trans. Amer. math. Soc. 40 (1936), 363-395; Duke math. J. 2 (1936), 492-510; JFM 62.0096.*; 62\(_{\text{II}}\), 1106) an, um Irreduzibilitätskriterien abzuleiten. Es gelingt ihm dabei, ein allgemeines Theorem aufzustellen, das nicht nur das bekannte Schönemann-Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium und seine mannigfachen Verallgemeinerungen (durch Königsberger, Bauer, Dumas, Kürschák, Rella und Ore) als Spezialfälle enthält, sondern auch über die Irreduzibilität neuer Fälle zu entscheiden gestattet. - Es sei \(V\) eine Bewertung eines Ringes \(R\). Ein Element \(a\) aus \(R\) sei mod \(V\) durch ein Element \(b\) aus \(R\) teilbar (“equivalence-divisible in \(V\)”), wenn \(V(a - bc)> V(a)= V(bc)\). \(f(x)\) sei ein Polynom mit Koeffizienten aus einem Körper \(K\). \(f(x)\) heiße ein Schlüsselpolynom (“key polynomial”) bezüglich einer Bewertung \(V\) des Polynomrings \(K[x]\), wenn 1) \(f(x)\) den höchsten Koeffizienten 1 hat, 2) der Grad irgend eines Polynoms, das mod \(V\) durch \(f(x)\) teilbar ist, größer oder gleich dem Grad von \(f(x)\) ist, 3) irgendein Produkt, das mod \(V\) durch \(f(x)\) teilbar ist, einen Faktor besitzt, der mod \(V\) durch \(f(x)\) teilbar ist. Die erste Form des allgemeinen Irreduzübilitätskriteriums des Verf. lautet dann: Ist \(G(x)\) ein Schlüsselpolynom bezüglich einer Bewertung \(V\) des Polynomrings \(K[x]\), so ist \(G(x)\) irreduzibel. – Anwendungen auf Polynome von mehreren Variablen und Behandlung spezieller Beispiele beschließen die Arbeit.

Citations:

JFM 62.0096.*
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