The uniqueness of the power series representation of certain fields with valuations. (English) JFM 64.0970.05

MacLane, S.

Ann. Math., Princeton, (2) 39, 370-382 (1938).

Eine Bewertung eines Körpers \(k\) läßt sich nicht nur als Abbildung der multiplikativen Gruppe \(k^*\) von \(k\) (ohne 0) auf die Wertgruppe auffassen, sondern auch durch die Abbildung von \(k^*\) auf die multiplikatiye Gruppe \(\mathfrak k^*\) des Restklassenkörpers beschreiben. – Ist \(k\) diskret bewertet und perfekt mit dem Restklassenkörper \(\mathfrak k\) und \(\mathfrak l\) ein Oberkörper von \(\mathfrak k\), so gibt es eine Erweiterung \(l\) von \(k\) mit diesem Restklassenkörper, und die Abbildung \(l^*\to\mathfrak l^*\) setzt die Abbildung \(k^*\to\mathfrak k^*\) fort. Dies kann ohne jede vom Inseparablen herkommende Schwierigkeit mit Hilfe eines Aufbaus von \(\mathfrak l/\mathfrak k\) durch (ev. transfinit viele) einfache Erweiterungen bewiesen werden. – Im übrigen werden hauptsächlich die Bewertungen mit einer diskreten Wertgruppe “endlichen Ranges” untersucht. Eine Untergruppe der Wertgruppe heißt isoliert, wenn sie hinsichtlich der Anordnung konvex ist; der Rang ist die Anzahl der isolierten Untergruppen weniger 1. Die Wertgruppe heißt diskret, wenn noch die Faktorgruppen der isolierten Untergruppen nach ihren maximalen isolierten Untergruppen unendliche zyklische Gruppen sind. Auf diesen Fall lassen sich die Sätze über diskrete Bewertungen zum Teil übertragen.

Reviewer: Teichmüller, O., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. B. Verbände, Ringe, Körper.