Sur les séries de puissances. (French) JFM 64.1051.04

Marcinkiewicz, J.; Zygmund, A.

Mathematica, Cluj, 14, 21-30 (1938).

Die Folge der Teilsummen \(S_n(z)(n = 0, 1, 2,\ldots)\) einer Potenzreihe \[ \sum_{\nu=0}^{\infty} a_{\nu}z^{\nu} \tag{1} \] kann bekanntlich Teilfolgen \(S_{n_k}(z)(k = 0, 1, 2,\ldots)\) aufweisen, die überkonvergent sind, d. h. in einem über den Konvergenzkreis von (1) hinausgreifenden Gebiet konvergieren. Insbesondere kann der Konvergenzradius von (1) verschwinden, und trotzdem eine geeignete Abschnittsfolge \(S_{n_k}(z)\) ein Konvergenzgebiet besitzen. Die Verf. beschäftigen sich mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen über die Indexfolge \((n_k)\) aus der Konvergenz der Abschnittsfolge \(S_{n_k}(z)\) auf einer gewissen Punktmenge, z. B. einem Intervall \((- R, + R)\) der reellen Achse, geschlossen werden kann, daß (1) einen positiven Konvergenzradius besitzt. Dazu wird gezeigt:
1) Ist \((n_k)\) eine Indexfolge, für welche \[ \underset{k \to \infty} {\overline{\lim}} \frac{n_{k+1}}{n_k}<\infty \tag{2} \] gilt, so folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz der Abschnittsfolge \(S_{n_k}(z)\) einer Potenzreihe (1) im Intervall \((- 1, + 1)\), daß der Konvergenzradius der Potenzreihe positiv ist. Ist dagegen (2) nicht erfüllt, so kann man zu der Indexfolge \((n_k)\) eine Potenzreihe (1) von verschwindendem Konvergenzradius konstruieren, für die die Abschnittsfolge \(S_{n_k}(z)\) in \((-1, +1)\) gleichmäßig konvergiert.
2) Unter zusätzlichen Voraussetzungen lassen sich genauere Aussagen über den Konvergenzradius machen (vgl. G. Bourion, Ann. sci. École norm. sup. 50 (1933), 245-318; F. d. M. 59\(_{\text{I}}\), 321): a) Gilt \(\underset{k \to \infty} {\overline{\lim}}\dfrac{n_{k+1}}{n_k}=1+h\), \((h > 0)\), so kann man eine Reihe (1) konstruieren, für die \(S_{n_k}(z)\) in \((-1, + 1)\) gleichmäßig konvergiert, und deren Konvergenzradius \(\varrho < 1\) ist. – b) Gilt \(\lim\limits_{k \to \infty}\dfrac{n_{k+1}}{n_k}=1\), so folgt aus der gleichmäßigen Konvergenz von \(S_{n_k}(z)\) in \((-1, + 1)\), daß (1) einen Konvergenzradius \(\varrho \geqq 1\) hat. – c) Ebenso ist \(\varrho \geqq 1\), wenn (2) gilt und \(S_{n_k}(z)\) in jedem Sektor \(|\, \text{arc }z-\pi \,| \geqq \varepsilon \,(>0)\), \(|\, z \,| \leqq 1\) gleichmäßig konvergiert. – d) Gilt (2) und konvergiert \(S_{nk}(z)\) in jedem endlichen Intervall \((- R, + R)\) gleichmäßig, so stellt (1) eine ganze Funktion dar.
3) Die Resultate lassen verschiedene Verallgemeinerungen zu, einerseits in der Richtung, daß die Voraussetzung der gleichmäßigen Konvergenz der \(S_{n_k}(z)\) durch schwächere Voraussetzungen, z. B. die Konvergenz fast überall oder die Konvergenz im Mittel ersetzt wird, andererseits in der Richtung, daß das Intervall \((- 1, + 1)\) durch eine beliebige abgeschlossene Punktmenge von positivem transfinitem Durchmesser ersetzt wird.

Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen. C. Potenz- und Polynomreihen sowie Reihen rationaler Funktionen.