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On the convergence and summability of power series on the circle of convergence. I. (English) JFM 64.1054.01

Die Fourierreihen der Funktionen \(f(\theta)\in L^r\) mit \(r>1\) besitzen eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften, die die Fourierreihen von Funktionen der Klasse \(L\) nicht aufweisen. Es ist das Hauptziel der vorliegenden Arbeit, für gewisse dieser Eigenschaften nachzuweisen daß sie noch vorhanden sind, wenn man sich auf Funktionen der Klasse \(L\) beschränkt, die eine Fourierreihe besitzen, deren konjugierte Reihe wieder Fourierreihe einer Funktion der Klasse \(L\) ist. Diese Voraussetzung ist gleichbedeutend damit, daß die beiden Reihen den Real- und Imaginärteil einer längs es Einheitskreises \(z=e^{i\theta}\) genommenen Potenzreihe \[ F(z)=\tfrac{1}{2}c_0+\sum_{n=1}^{\infty} c_nz^n \tag{1} \] der Klasse \(H\) darstellen. (\(F(z)\) heißt zur Klasse H gehörig, wenn \(\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{0}^{2\pi}|\, F(\varrho e^{i\theta}) \,| \,d\theta\) für \(0 \leqq \varrho<1\) beschränkt ist, was zur Folge hat, daß \(F(e^{i\theta})=\lim\limits_{z \to e^{i\theta}} F(z)\) fast überall existiert und über \((0,2\pi)\) integrabel ist). Von den Ergebnissen des Verf., die für Potenzreihen der Klasse \(H\) ausgesprochen werden, seien als wichtigste die folgenden genannt:
Die Potenzreihe (1) gehöre zur Klasse \(H\). Ihre Teilsummen seien mit \(S_n(z)\), deren arithmetische Mittel mit \(\tau_n(z)\) bezeichnet.
a) Ist \((n_k)\) eine Indexfolge mit \(\dfrac{n_{k+1}}{n_k}>\alpha>1\), so konvergiert \(S_{n_k}(e^{i\theta})\) fast überall gegen \(F(e^{i\theta})\); überdies gilt für \(T^*(z)=\max\limits_{k}|\, S_{n_k}(z) \,|\) die Ungleichung \[ \left( \int\limits_{0}^{2\pi} \{T^*(e^{i\theta})\}^{\mu}\,d\theta \right)^{\frac{1}{\mu}} \leqq B_{\mu,\alpha} \int\limits_{0}^{2\pi}|\, F(e^{i\theta}) \,| \,d\theta \] für jedes \(\mu\) aus \(0<\mu<1\) mit einer nur von \(\mu\) und \(\alpha\) abhängigen Konstanten \(B_{\mu,\alpha}\). – Ist das Integral \[ \int\limits_{0}^{2\pi}|\, F(\varrho e^{i\theta}) \,| \, \log^+\, |\, F(\varrho e^{i\theta}) \,| \,d\theta \] für \(0 \leqq \varrho < 1\) beschränkt, so gilt \[ \int\limits_{0}^{2\pi} T^*(e^{i\theta}) \,d\theta \leqq B \int\limits_{0}^{2\pi}|\, F(e^{i\theta}) \,| \, \log^+\, |\, F(e^{i\theta}) \,| \,d\theta + B \] mit einer absoluten Konstanten \(B\).
b) Die Reihe \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\, S_n(e^{i\theta})-\tau_n (e^{i\theta})\,|^2}{n} \] konvergiert für fast alle \(\theta\); insbesondere strebt mit \(n \to \infty\) \[ \frac{1}{n+1} \sum_{\nu=1}^{n}|\, S_{\nu}(e^{i\theta})-F(e^{i\theta})\,|^2 \to 0 \] für fast alle \(\theta\).
c) Für fast alle \(\theta\) läßt sich die Folge der natürlichen Zahlen in zwei komplementäre Teilfolgen \((\nu_k)\) und \((\mu_k)\) so aufspalten, daß \(S_{\nu_k}(e^{i\theta}) \to F(e^{i\theta})\) strebt, während \(\sum \dfrac{1}{\mu_k}\) konvergiert.
Für die Beweise sind entscheidend Abschätzungen der Integrale \[ \int\limits_{0}^{2\pi} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\,S_n(e^{i\theta})-\tau_n(e^{i\theta})\,|^2}{n}\right)^{\frac{1}{2}r} \,d\theta \quad \text{und} \quad \int\limits_{0}^{2\pi} \left( \sum_{k=1}^{\infty} |\,S_{n_k}(e^{i\theta})-\tau_{n_k}(e^{i\theta})\,|^2\right)^{\frac{1}{2}r} \,d\theta \] für \(\dfrac{n_{k+1}}{n_k}>\alpha>1\) und \(0<r\lesseqqgtr 1\).

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