×

zbMATH — the first resource for mathematics

Introduction to Bessel functions. (English) JFM 64.1087.01
X +135 p. London, New York, Toronto, Longmans, Green and Co. (1938).
Das Büchlein dient der Einführung von Nichtmathematikern in die Elemente der Theorie der Besselfunktionen ; dem entspricht die Anlage ; der Text ist sehr einfach und verständlich, und die Beweisanordnungen sind elementar, aber nicht überall streng. In den ersten Kapiteln wird die Besselsche Funktion der ersten und zweiten Art von der nullten Ordnung mit Anwendungen behandelt. Den Ausgang bildet die Potenzreihenentwicklung für \(J_0(x)\); aus der Besselschen Differentialgleichung werden dann die Neumannschen bzw. Weberschen Besselfunktionen der zweiten Art gewonnen; die allgemeine Lösung der Differentialgleichung wird auch durch Reihenentwicklung bestimmt. Es folgen Integralausdrücke, Rekursionsformeln, asymptotische Darstellungen für große Werte von \(x\), die Bestimmung der Nullstellen, die Entwicklungen von Fourier-Bessel und von Dini. Im zweiten Kapitel erfolgen Anwendungen auf die schwingende Kreis- und Ringmembrane, auf die kleinen Schwingungen einer hängenden Kette in einer Vertikalebene, auf die Wärmeleitung in einem Kreiszylinder; dabei werden die einzelnen Probleme vollständig abgeleitet. Im dritten Kapitel werden in analoger Weise die modifizierten Besselschen Funktionen I\(_0 (x) = J_0 (ix)\), K\(_0 (x)= K_0 (ix)\) mit Anwendung auf den Wärmefluß in einem Kreiszylinder und die Wechselströme in Drähten mit kreisförmigem Querschnitt behandelt; die Kelvinschen Funktionen Ber und Bei werden eingeführt. Im vierten Kapitel werden die Besselschen, Lipschitzschen und Weberschen Integraldarstellungen für \(J_0(x)\) (mit Anwendung auf das Potential einer Kreisscheibe) sowie die einfachsten Integraldarstellungen der Gamma- und Betafunktion abgeleitet. Im fünften Kapitel werden, ausgehend von Hankels Konturintegral, asymptotische Entwicklungen für \(J_0(x)\), \(Y_0(x)\), \(J_0'(x)\), I\(_0(x)\) und K\(_0(x)\) gewonnen. Das sechste Kapitel behandelt die Besselfunktion einer beliebigen reellen Ordnung, mit Anwendungen (im 7. Kapitel) auf die Keplergleichung, auf die Gleichgewichtslage eines Vertikalstabes u. a. Zahlreiche Übungsaufgaben bieten dem Leser die Möglichkeit zur Vertiefung.
Besprechungen: R. P. Agnew; Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 346-347; F. G. W. B.; Nature 143 (1939), 356.