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Sur un théorème d’analyse fonctionnelle. (Russian. French summary) JFM 64.1100.02

Ist die Funktion \(\varphi(x_1,\ldots, x_n)\) in einem endlichen Gebiet \(G\) des \(n\)-dimensionalen Raumes der Veränderlichen \(x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_n\) definiert und bezeichnet \(\psi(x_1,\ldots, x_n) \) eine in \(G\) mit ihren partiellen Ableitungen bis zur \(\alpha\)-ten Ordnung stetige Funktion, die außerhalb eines ganz in \(G\) gelegenen Teilgebietes \(G_1 \subset G \) verschwindet, so gilt, falls die Funktion \(\varphi\) selbst stetige partielle Ableitungen bis zur \(\alpha\)-ten Ordnung besitzt, die Beziehung \[ \mathop{\int\!\cdots\!\int}\limits_{(G)} \left\{\varphi \frac{\partial^\alpha\psi}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots \partial x_n^{\alpha_n}} +(-1)^\alpha \psi\frac{\partial^\alpha\varphi}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}\right\} \, dx_1\,\cdots\, dx_n=0. \tag{1} \] Verf. benutzt umgekehrt diese Relation, um in neuer Weise die partielle Ableitung \[ \frac{\partial^\alpha\varphi}{\partial x_1^{\alpha_1}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}} \] der Funktion \(\varphi\) als eine solche in jedem Teilgebiet \(G_1\) von \(G \) summierbare Funktion zu definieren, die bei jeder den obigen Bedingungen genügenden Funktion \(\psi\) die Gleichung (1) erfüllt. Diese Ableitung ist bis auf eine Menge vom Maße Null eindeutig bestimmt. Es gibt Funktionen, denen dadurch Ableitungen zugeordnet werden, während sie im üblichen Sinne nicht differenzierbar sind; andererseits gibt es Funktionen, die im üblichen Sinne Ableitungen besitzen, während das nach der neuen Definition nicht der Fall ist.
Es wird alsdann folgender Satz bewiesen: Ist die Funktion \(|\varphi|^{q^*}\) mit \(q^* \geqq1\) in \(G\) summierbar, und existieren in \(G\) die im eben genannten Sinne verstandenen partiellen Ableitungen \(l\)-ter Ordnung (\(l \leqq n\)), und sind ihre \(p\)-ten Potenzen (\(p \geqq 1\)) in \(G\) summierbar, so ist für \(1 < p < \dfrac nl\) die \(q\)-te Potenz von \(\varphi\) in \(G\) summierbar, wobei \[ \frac1q = \frac1p - \frac ln \] ist. Entsprechende Aussagen gelten in den Fällen \[ 1 = p<\frac nl,\quad 1<p=\frac nl,\quad 1=p=\frac nl,\quad p>\frac nl\,. \] Der Beweis stützt sich wesentlich auf die folgende Verallgemeinerung einer Ungleichung von F. Riesz (J. London, math. Soc. 5 (1930), 162-168; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 232): Mit \(\lambda=n\left(2-\dfrac1p-\dfrac1q\right)\), \(p>1\), \(q>1\), \(\dfrac1p+ \dfrac1q>1\) gilt \[ \begin{aligned} \int\!\cdots\!\int &\frac{f(x_1,\ldots,x_n)g(y_1,\ldots,y_n)} {\left\{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-y_i)^2\right\}^{\frac\lambda2}} \,dx_1\cdots dx_n\, dy_1\cdots dy_n \\ &\leqq K\left\{{\textstyle\int\!\cdots\!\int} |f|^p\,dx_1\cdots dx_n\right\}^{\frac1p} \left\{{\textstyle\int\!\cdots\!\int} |g|^q\,dy_1\cdots dy_n\right\}^{\frac1q}. \end{aligned} \] (IV 3 C.)

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