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Les transformations de Fourier, Laplace, Gauss et leurs applications au calcul des probabilités et à la statistique. (French) JFM 64.1106.01

Diese im Institut Henri Poincaré gehaltenen Vorträge behandeln die Haupteigenschaften der Laplace-, Fourier- und Gauß-Transformation mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungsmöglichkeit in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Bei der Laplace- und Fourier-Transformation \[ f(s) = \int\limits_0^\infty e^{-st}F(t)\,dt,\quad \text{bzw.}\quad f(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ist}F(t)\, dt \] kommt vor allem ihre Eigenschaft in Frage, die “Faltung” \[ F_1*F_2 = \int F_1(\tau)F_2(t-\tau)\,d\tau \] zweier Funktionen \(F_1\) und \(F_2\) in das Produkt der Transformierten von \(F_1\) und \(F_2\) überzuführen (bei der Laplace-Transformation sind die Grenzen des Faltungsintegrals 0 und \(t\), bei der Fourier-Transformation \(- \infty\) und \(+ \infty\)). Gehorchen zwei zufällige Variable den Wahrscheinlichkeitsgesetzen \(F_1\) und \(F_2\), so gehorcht ihre Summe dem Gesetz \(F_1*F_2\). Durch Übergang zu den Transformierten (den “charakteristischen Funktionen”) wird aus dieser komplizierten Bindung das einfache Produkt, wodurch sich die Probleme außerordentlich vereinfachen. Verf. behandelt zwischendurch die Frage, wie die Verhältnisse sich ändern, wenn die Addition der zufälligen Variablen durch die Multiplikation ersetzt wird, und findet, daß dann die Mellin-Transformation geeignet ist, dieselben Dienste zu tun, nämlich die betr. Bindung der Wahrscheinlichkeitsgesetze in ein einfaches Produkt überzuführen, d. h. das Problem zu “algebraisieren”.
Bei der Gauß-Transformation \[ f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi m}} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{2m}} F(\xi)\,d\xi \] ist für die Wahrscheinlichkeitstheorie vor allem ihre Umkehrung wichtig, weil sie gedeutet werden kann als Zerlegung einer Funktion in Gaußsche Fehlerkurven und Bestimmung ihrer Amplituden \(F (\xi)\). Neben gewissen vom Verf. (Comment. math. Helvetici 8 (1935), 70-87; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1206) studierten allgemeinen Eigenschaften der Gauß-Transformation werden vor allem die Lösungen des Umkehrungsproblems dargestellt, die von G. Doetsch (Math. Z. 41 (1936), 283-318; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 475) für die verschiedenen Fälle gegeben worden sind, daß die Gauß-Transformation die obige Gestalt hat oder daß sie in Form eines Stieltjes-Integrals gegeben ist oder daß es sich um eine endliche Summe von Gaußschen Fehlerfunktionen handelt. (IV 16.)

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Full Text: Numdam EuDML