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Analytic quasiperiodic curves of discontinuous type on a torus. (English) JFM 64.1141.02

Die Charakteristiken auf einem Torus, oder die Trajektorien des Systems \[ \dot{x} = X(x,y), \;\dot{y} = Y(x,y) \] (als solche können jene angesehen werden) sind sehr ins einzelne gehend untersucht worden unter der Annahme, daß keine singulären Punkte (das sind Punkte mit \(X^2 + Y^2 = 0\)) vorkommen. Die vorliegende Arbeit behandelt gewisse Fälle mit singulären Punkten.
Es sei \(z(x, y)\) eine reelle analytische Funktion mit \(z(x +1, y) = z(x, y) + 1\), \(z(x,y+c)\equiv z(x, y)\), \(\dfrac{\partial z}{\partial x} > 0\) für \(y = (n + \frac{1}{2})c\) (\(n\) ganze Zahl), und \(z(x, y)\) besitze gerade zwei kritische Punkte in einem Fundamentalbereich, von denen einer ein relatives Minimum, der andere ein Sattelpunkt sei. Die untersuchten Trajektorien sind die Kurven, die die Niveaulinien \(z(x, y) = a\) unter einem konstanten Winkel \(\tfrac{\pi}{2} - \beta\) schneiden. Es existieren zwei singuläre Punkte, ein Wirbel und ein Sattel.
Wie im nicht-singulären Fall, gehört zu jeder ins Unendliche gehenden Trajektorie eine Rotationszahl \(\alpha\), die nur von \(\beta\) abhängt, und zwar stetig für \(-\dfrac{\pi}{2} < \beta < \dfrac{\pi}{2}\). Es gibt periodische Trajektorien dann und nur dann, wenn \(\alpha\) rational ist. Eine ins einzelne gehende Untersuchung der Trajektorien für irrationales \(\alpha\) wird durchgeführt. Auf Grund von Methoden von Denjoy (J. Math. pur. appl. (9) 11 (1932), 333-375; JFM 58.1124.*) wird gezeigt, daß es insbesondere \(2^{\aleph_0}\) Trajektorien gibt, die nichtgleichmäßig “pervasive” sind (stabil im Sinne Poissons, aber nicht geschlossen) und von diskontinuierlichem Typus.
Die Arbeit schließt mit der Konstruktion von Beispielen der untersuchten Art.

Citations:

JFM 58.1124.*
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