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Über das Cauchysche Problem für ein System linearer partieller Differentialgleichungen im Gebiete der nichtanalytischen Funktionen. (German) JFM 64.1156.02
Bull. Univ. Moscou, Sér. Int., A, 1, Nr. 7, 1-74 (1938).
Für das System der partiellen Differentialgleichungen \[ \dfrac{\partial^{n_i}u_i}{\partial t^{n_i}} = \sum\limits_{j=1}^N\sum\limits_{(k_s)} A_{ij}^{(k_0,k_1,\ldots,k_n)} (t)\dfrac{\partial^{k_0+k_1+\cdots+k_n}u_j}{\partial t^{k_0}\partial x_1^{k_1}\cdots\partial x_n^{k_n}} + f_i(t,x_1,\ldots,x_n) \] \((i = 1,\ldots,N;\, t\in (0, T);\, x_i\) reell), wobei sich die innere Summe auf alle ganzen \(k_s\geqq 0\), deren Summe dne Zahl \(M\) nicht übertrifft und in der \(k_0 < n_j(> 0)\) ist, bezieht, wird der Begriff der gleichmäßig korrekten Stellung des Cauchyschen Problems folgendermaßen erklärt: Für jedes \(0\leqq t_0 < T\) und für jedes System von beschränkten Funktionen \(\varphi_i^{(k)}(x_1,\ldots, x_n)\) \((k = 0,\ldots, n_i - 1)\), deren partielle Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung \(L\) ebenfalls beschränkt sind, gibt es ein einziges System von Funktionen \(u_i\), die 1) samt allen partiellen Ableitungen von genügend hoher Ordnung beschränkt sind, für \(t_0 < t\leqq T\) das System befriedigen und sich für \(t = t_0\) mit ihren Ableitungen nach \(t\) bis zur Ordnung \(n_i-1\) auf die \(\varphi_i^{(k)}\) reduzieren; 2) diese Lösung \(u_i\) ändert sich mit den Funktionen \(\varphi_i^{(k)}\) und ihren partiellen Ableitungen bis zur Ordnung \(L\) stetig, und zwar gleichmäßig in bezug auf \(t_0\). Unter der Voraussetzung, daß die Funktionen \(A_{ij}^{(k_0,k_1,\ldots,k_n)}(t)\) und \(f_i\) beschränkte partielle Ableitungen von genügend hoher Ordnung besitzen, gibt Verf. eine notwendige und hinreichende Bedingung für die gleichmäßig korrekte Stellung des Cauchyschen Problems an. In diesem Zusammenhang werden dann gewisse sogenannte parabolische und hyperbolische Systeme mit tiefliegenden Mitteln eingehend untersucht.
Siehe auch die Nachträge und die Hinweise auf Arbeiten in anderen Gebieten am Schluß des Bandes.
Reviewer: Borůvka, O.